【題目】如圖,在ABC中,BCAC,點E在BC上,CE=CA,點D在AB上,連接DE,ACB+ADE=180°,作CHAB,垂足為H.

(1)如圖a,當ACB=90°時,連接CD,過點C作CFCD交BA的延長線于點F.

①求證:FA=DE;

②請猜想三條線段DE,AD,CH之間的數(shù)量關系,直接寫出結論;

(2)如圖b,當ACB=120°時,三條線段DE,AD,CH之間存在怎樣的數(shù)量關系?請證明你的結論.

【答案】(1)證明見解析;DE+AD=2CH;(2)AD+DE=CH.

【解析】

試題分析:(1)①根據(jù)ASA證明AFC≌△EDC,可得結論;

②結論是:DE+AD=2CH,根據(jù)CH是等腰直角FCD斜邊上的中線得:FD=2CH,再進行等量代換可得結論;

(2)如圖b,根據(jù)(1)作輔助線,構建全等三角形,證明FAC≌△DEC得AF=DE,F(xiàn)C=CD,得等腰FDC,由三線合一的性質(zhì)得CH,是底邊中線和頂角平分線,得直角CHD,利用三角函數(shù)得出HD與CH的關系,從而得出結論.

試題解析:(1)①CFCD,∴∠FCD=90°,∵∠ACB=90°,∴∠FCA+ACD=ACD+DCE,∴∠FCA=DCE,∵∠FAC=90°+B,CED=90°+B,∴∠FAC=CED,AC=CE,∴△AFC≌△EDC,FA=DE,②DE+AD=2CH,理由是:

∵△AFC≌△EDC,CF=CD,CHAB,FH=HD,在RtFCD中,CH是斜邊FD的中線,FD=2DH,AF+AD=2CH,DE+AD=2CH;

(2)AD+DE=CH,理由是:

如圖b,作FCD=ACB,交BA延長線于F,∵∠FCA+ACD=ACD+DCB,∴∠FCA=DCB,∵∠EDA=60°,∴∠EDB=120°,∵∠FAC=120°+B,CED=120°+B,∴∠FAC=CED,AC=CE,∴△FAC≌△DEC,AF=DE,F(xiàn)C=CD,CHFD,FH=HD,FCH=HCD=60°,在RtCHD中,tan60°=DH=CH,AD+DE=AD+AF=FD=2DH=CH,即:AD+DE=CH.

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