Question

【題目】綜合與探究

如圖，拋物線y=與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，PM交BC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作PE∥AC交x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．

（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）試探究在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請直接寫出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）請用含m的代數(shù)式表示線段QF的長，并求出m為何值時(shí)QF有最大值．

Answer 1

【答案】（1）C（0，﹣4）；（2）Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣4）或（1，﹣3）； （3）當(dāng)m=2時(shí)，QF有最大值．

【解析】

（1）解方程x2x-4=0得A（-3，0），B（4，0），計(jì)算自變量為0時(shí)的二次函數(shù)值得C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）利用勾股定理計(jì)算出AC=5，利用待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式為y=x-4，則可設(shè)Q（m，m-4）（0＜m＜4），討論：當(dāng)CQ=CA時(shí)，則m2+（m-4+4）2=52，

當(dāng)AQ=AC時(shí)，（m+3）2+（m-4）2=52；當(dāng)QA=QC時(shí)，（m+3）2+（m-4）2=52，然后分別解方程求出m即可得到對應(yīng)的Q點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）過點(diǎn)F作FG⊥PQ于點(diǎn)G，如圖，由△OBC為等腰直角三角形．可判斷△FQG為等腰直角三角形，則FG=QG=FQ，再證明△FGP～△AOC得到，則PG=FQ，所以PQ=FQ，于是得到FQ=PQ，設(shè)P（m，m2-m-4）（0＜m＜4），則Q（m，m-4），利用PQ=-m2+m得到FQ=（-m2+m），然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．

（1）當(dāng)y=0，x2x-4=0，解得x1=-3，x2=4，

∴A（-3，0），B（4，0），

當(dāng)x=0，y=x2x-4=-4，

∴C（0，-4）；

（2）A=，

易得直線BC的解析式為y=x-4，

設(shè)Q（m，m-4）（0＜m＜4），

當(dāng)CQ=CA時(shí)，m2+（m-4+4）2=52，解得m1=，m2=-（舍去），此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，-4）；

當(dāng)AQ=AC時(shí)，（m+3）2+（m-4）2=52，解得m1=1，m2=0（舍去），此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-3）；

當(dāng)QA=QC時(shí)，（m+3）2+（m-4）2=52，解得m=（舍去），

綜上所述，滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，-4）或（1，-3）；

（3）解：過點(diǎn)F作FG⊥PQ于點(diǎn)G，如圖，

則FG∥x軸．由B（4，0），C（0，-4）得△OBC為等腰直角三角形

∴∠OBC=∠QFG=45

∴△FQG為等腰直角三角形，

∴FG=QG=FQ，

∵PE∥AC，PG∥CO，

∴∠FPG=∠ACO，

∵∠FGP=∠AOC=90°，

∴△FGP～△AOC．

∴，即，

∴PG=FG=FQ=FQ，

∴PQ=PG+GQ=FQ+FQ=FQ，

∴FQ=PQ，

設(shè)P（m，m2-m-4）（0＜m＜4），則Q（m，m-4），

∴PQ=m-4-（m2-m-4）=-m2+m，

∴FQ=（-m2+m）=-（m-2）2+

∵-＜0，

∴QF有最大值．

∴當(dāng)m=2時(shí)，QF有最大值．