Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線ykxb與 x軸相交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像相交于點(diǎn) A(1，8)、B(m，2)．

(1)求該反比例函數(shù)和直線y kxb的表達(dá)式；

(2)求證：ΔOBC為直角三角形；

(3)設(shè)∠ACO＝α，點(diǎn)Q為反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像上一動點(diǎn)，且滿足90°－α＜∠QOC＜α，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)q的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）證明見解析；(3)．

【解析】

（1）首先利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式，然后求得B的坐標(biāo)，則利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式；

（2）過點(diǎn)B作BD⊥OC于點(diǎn)D，在直角△OBD和直角△OBC中，利用勾股定理求得和，然后利用勾股定理的逆定理即可證明；

（3）分成Q在B的左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論，當(dāng)在右側(cè)時一定不成立，當(dāng)在左側(cè)時，判斷是否存在點(diǎn)Q時∠QCO=90°-α即可．

(1)設(shè)反比例函數(shù)的解析式是y=kx，

把(1,8)代入得k=8，

則反比例函數(shù)表達(dá)式為，

把(m,2)代入得，

則B的坐標(biāo)是(4,2).

根據(jù)題意得：，

解得：，

，則直線表達(dá)式y=2x+10；

(2)過點(diǎn)B作BD⊥OC于點(diǎn)D,(圖1)則D的坐標(biāo)是(4,0).

在y=2x+10中，令y=0，解得x=5，則OC=5.

∵在直角△OBD中，BD=2，DC=OCOD=54=1，

則，

同理,直角△BCD中, ，

∴，

∴△OBC是直角三角形；

(3)當(dāng)Q在B的右側(cè)時一定不成立，

在y=2x+10中,令x=0,則y=10,

則當(dāng)Q在的左邊時,(圖2)tan∠ACO=tanα=2，

則tan(90°α)= .

當(dāng)∠QCO=90°α時,Q的橫坐標(biāo)是p,則縱坐標(biāo)是，

tan∠QCO=tan(90°α)= :(5p)=

即，

△=254×16=39<0，則Q不存在，

故當(dāng)Q在AB之間時，滿足條件，

因而2<q<4.