Question

【題目】如圖，點(diǎn)A，E是半圓周上的三等分點(diǎn)，直徑BC=2，AD⊥BC，垂足為D，連接BE交AD于F，過A作AG∥BE交BC于G．

（1）判斷直線AG與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．

（2）求線段AF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）AG與⊙O相切，理由見解析（2）

【解析】解：（1）直線AG與⊙O的位置關(guān)系是AG與⊙O相切，理由如下：

連接OA，

∵點(diǎn)A，E是半圓周上的三等分點(diǎn)，

∴。∴點(diǎn)A是的中點(diǎn)。

∴OA⊥BE。

又∵AG∥BE，∴OA⊥AG。∴AG與⊙O相切。

（2）∵點(diǎn)A，E是半圓周上的三等分點(diǎn)，∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°。

又∵OA=OB，∴△ABO為正三角形。

又∵AD⊥OB，OB=1，∴BD=OD=，AD=。

又∵∠EBC=∠EOC=30°，

在Rt△FBD中，F(xiàn)D=BDtan∠EBC=BDtan30°=。

∴AF=AD﹣DF=。

答：AF的長(zhǎng)是。

（1）求出弧AB=弧AE=弧EC，推出OA⊥BE，根據(jù)AG∥BE，推出OA⊥AG，根據(jù)切線的判定即可得出答案。

（2）求出等邊三角形AOB，求出BD、AD長(zhǎng)，求出∠EBC=30°，在△FBD中，通過解直角三角形求出DF即可。