【題目】如圖1,平面直角坐標(biāo)系中,直線y1=﹣x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),直線y2=﹣2x+b經(jīng)過點(diǎn)A,已知點(diǎn)C(﹣1,0),直線BC與直線y2相交于點(diǎn)D.
(1)請直接寫出:A點(diǎn)坐標(biāo)為 ,直線BC解析式為 ,D點(diǎn)坐標(biāo)為 ;
(2)若線段OA在x軸上移動(dòng),且點(diǎn)O,A移動(dòng)后的對應(yīng)點(diǎn)為O1、A1,首尾順次連接點(diǎn)O1、A1、D、B構(gòu)成四邊形O1A1DB,當(dāng)四邊形O1A1DB的周長最小時(shí),y軸上是否存在點(diǎn)M,使|A1M﹣DM|有最大值,若存在,請求出此時(shí)M的坐標(biāo);若不存在請說明理由.
(3)如圖3,過點(diǎn)D作DE∥y軸,與直線AB交于點(diǎn)E,若Q為線段AD上一動(dòng)點(diǎn),將△DEQ沿邊EQ翻折得到直線AB上方的△D′EQ,是否存在點(diǎn)Q使得△D′EQ與△AEQ的重疊部分圖形為直角三角形,若存在,請求出DQ的長;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)(4,0),y=3x+3,(1,6);(2)M(0,9);(3)或.
【解析】
(1)利用坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)求出點(diǎn)A,B坐標(biāo),進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式,聯(lián)立兩直線解析式求解即可得出點(diǎn)D坐標(biāo);
(2)利用對稱性和平行四邊形的性質(zhì)找出四邊形O1A1DB的周長最小時(shí)點(diǎn)A1的位置,再利用待定系數(shù)法求出直線DG的解析式,即可得出結(jié)論;
(3)分兩種情況,先求出DE,再利用銳角三角函數(shù)求出EF,進(jìn)而利用勾股定理求出DF,再利用角平分線的性質(zhì),求出DN,最后利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式,建立方程求解即可.
解:(1)對于直線y1=﹣x+3,令x=0,則y=3,
∴B(0,3),令y=0,則0=﹣x+3,
∴x=4,
∴A(4,0),
∵直線y2=﹣2x+b經(jīng)過點(diǎn)A,
∴﹣2×4+b=0,
∴b=8,
∴直線y2=﹣2x+8①,
設(shè)直線BC的解析式為 mx+n,
∵C(﹣1,0),
∴ ,
∴ ,
∴直線BC的解析式為y=3x+3②,
聯(lián)立①②解得, ,
∴D(1,6),
故答案為:(4,0),y=3x+3,(1,6);
(2)如圖1,
作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B'(0,﹣3),以OA與OB'為邊作OB'GA,
∴B'G=OA,
∵∠AOB'=90°,
∴OB'GA是矩形,
∴G(4,﹣3),
連接DG,向左平移OA使點(diǎn)A落在DG與x軸的交點(diǎn)上,記作A1,連接O1B',
此時(shí)四邊形O1A1DB的周長最小,
設(shè)直線DG的解析式為y=kx+a,
∵D(1,6),
∴ ,
∴ ,
span>∴直線DG的解析式為y=﹣3x+9,
要|A1M﹣DM|有最大值,則點(diǎn)M是DG與y軸的交點(diǎn),如圖2,
∴M(0,9);
(3)∵DE∥y軸,D(1,6),
∴E(1, ),
∴DE= ,
由折疊知,ED'=DE=,∠DEQ=∠FEQ,
如圖5,設(shè)直線AD交y軸于H,
∵點(diǎn)A(4,0),D(1,6),
∴直線AD的解析式為y=﹣2x+8,
∴H(0,8),
在Rt△AOH中,tan∠AHO= ,= ,
∵DE∥y軸,
∴∠ADE=∠AHO,
∴tan∠ADE=,
設(shè)EE'與AD的交點(diǎn)為F,
①當(dāng)∠DFE=90°時(shí),如圖3,
在Rt△DFE中,tan∠ADE==,
∴DF=2EF,根據(jù)勾股定理得,EF2+(2EF)2=()2,
∴EF=,DF=,
過點(diǎn)D作DN∥EE'交EQ的延長線于N,
∴∠FEQ=∠N,
∴∠DEQ=∠N,
∴DN=DE=,
∵DN∥EF,
∴△QFE∽△QDN,
∴ ,
∴ ,
∴DQ= ,
②當(dāng)∠DEF=90°時(shí),如圖4,過點(diǎn)D作DN∥EF交EQ的延長線于N,
在Rt△DEF中,tan∠ADE= = ,
∴EF= DE= ,根據(jù)勾股定理得,DF= ,
同①的方法得,DN=DE= ,
∵DN∥EF,
∴△QFE∽△QDN,
∴ ,
∴ ,
∴QD= .
即:DQ的長為 或.
故答案為:(1)(4,0),y=3x+3,(1,6);(2)M(0,9);(3)或.
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⑵ 若BE=2,求PB的長.
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A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
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A.1B.1.3C.1.2D.1.5
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