【題目】如圖所示,點A為半圓O直徑MN所在直線上一點,射線AB垂直于MN,垂足為A,半圓繞M點順時針轉(zhuǎn)動,轉(zhuǎn)過的角度記作a;設(shè)半圓O的半徑為R,AM的長度為m,回答下列問題:
(1)探究:若R=2,m=1,如圖1,當(dāng)旋轉(zhuǎn)30°時,圓心O′到射線AB的距離是;如圖2,當(dāng)a=°時,半圓O與射線AB相切;
(2)如圖3,在(1)的條件下,為了使得半圓O轉(zhuǎn)動30°即能與射線AB相切,在保持線段AM長度不變的條件下,調(diào)整半徑R的大小,請你求出滿足要求的R,并說明理由.
(3)發(fā)現(xiàn):如圖4,在0°<α<90°時,為了對任意旋轉(zhuǎn)角都保證半圓O與射線AB能夠相切,小明探究了cosα與R、m兩個量的關(guān)系,請你幫助他直接寫出這個關(guān)系;cosα=(用含有R、m的代數(shù)式表示)
(4)拓展:如圖5,若R=m,當(dāng)半圓弧線與射線AB有兩個交點時,α的取值范圍是 , 并求出在這個變化過程中陰影部分(弓形)面積的最大值(用m表示)
【答案】
(1) +1;60°
(2)解:設(shè)切點為P,連接O′P,作MQ⊥O′P,則四邊形APQM是矩形.
∵O′P=R,
∴R= R+1,
∴R=4+2
(3)
(4)90°<α≤120°
【解析】解:(1)如圖1中,作O′E⊥AB于E,MF⊥O′E于F.則四邊形AMFE是矩形,EF=AM=1.想辦法求出O′E的長即可.
在Rt△MFO′中,∵∠MO F=30°,MO′=2,
∴O′F=O′Mcos30°= ,O′E= +1,
∴點O′到AB的距離為 +1.
如圖2中,設(shè)切點為F,連接O′F,作O′E⊥OA于E,則四邊形O′EAF是矩形,
∴AE=O′F=2,
∵AM=1,
∴EM=1,
在Rt△O′EM中,sinα= = ,
∴α=60°
故答案為 +1,60°.
·(3)設(shè)切點為P,連接O′P,作MQ⊥O′P,則四邊形APQM是矩形.
在Rt△O′QM中,O′Q=Rcosα,QP=m,
∵O′P=R,
∴Rcosα+m=R,
∴cosα= .
故答案為 .
·(4)如圖5中,
當(dāng)半圓與射線AB相切時,之后開始出現(xiàn)兩個交點,此時α=90°;當(dāng)N′落在AB上時,為半圓與AB有兩個交點的最后時刻,此時∵M(jìn)N′=2AM,所以∠AMN′=60°,所以,α=120°因此,當(dāng)半圓弧線與射線AB有兩個交點時,α的取值范圍是:90°<α≤120°
故答案為90°<α≤120°;
當(dāng)N′落在AB上時,陰影部分面積最大,
所以S═ ﹣ m m= ﹣ m2 .
(1)如圖1中,作O′E⊥AB于E,MF⊥O′E于F.則四邊形AMFE是矩形,EF=AM=1.如圖2中,設(shè)切點為F,連接O′F,作O′E⊥OA于E,則四邊形O′EAF是矩形,在Rt△O′EM中,由sinα= = ,推出α=60°.(2)設(shè)切點為P,連接O′P,作MQ⊥O′P,則四邊形APQM是矩形.列出方程即可解決問題.(3)設(shè)切點為P,連接O′P,作MQ⊥O′P,則四邊形APQM是矩形.列出方程即可解決問題、(4)當(dāng)半圓與射線AB相切時,之后開始出現(xiàn)兩個交點,此時α=90°;當(dāng)N′落在AB上時,為半圓與AB有兩個交點的最后時刻,此時∵M(jìn)N′=2AM,所以∠AMN′=60°,所以,α=120°因此,當(dāng)半圓弧線與射線AB有兩個交點時,α的取值范圍是:90°<α≤120°.當(dāng)N′落在AB上時,陰影部分面積最大,求出此時的面積即可.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】程大位是我國明朝商人,珠算發(fā)明家.他60歲時完成的《直指算法統(tǒng)宗》是東方古代數(shù)學(xué)名著,詳述了傳統(tǒng)的珠算規(guī)則,確立了算盤用法.書中有如下問題:
一百饅頭一百僧,大僧三個更無爭,
小僧三人分一個,大小和尚得幾。
意思是:有100個和尚分100個饅頭,如果大和尚1人分3個,小和尚3人分1個,正好分完,大、小和尚各有多少人,下列求解結(jié)果正確的是( )
A. 大和尚25人,小和尚75人 B. 大和尚75人,小和尚25人
C. 大和尚50人,小和尚50人 D. 大、小和尚各100人
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人參加學(xué)校組織的理化實驗操作測試,近期的5次測試成績?nèi)鐖D所示.
(1)請你根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)填寫表格;
姓名 | 平均數(shù) | 眾數(shù) | 方差 |
甲 | 8 | ||
乙 | 8 | 2.8 |
(2)從平均數(shù)和方差相結(jié)合看,誰的成績好些?從發(fā)展趨勢來看,誰的成績好些?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了豐富學(xué)生課余生活,決定開設(shè)以下體育課外活動項目:A.版畫 B.保齡球C.航模 D.園藝種植,為了解學(xué)生最喜歡哪一種活動項目,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成了兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請回答下列問題:
(1)這次被調(diào)查的學(xué)生共有人;
(2)請你將條形統(tǒng)計圖(2)補(bǔ)充完整;
(3)在平時的保齡球項目訓(xùn)練中,甲、乙、丙、丁四人表現(xiàn)優(yōu)秀,現(xiàn)決定從這四名同學(xué)中任選兩名參加保齡球比賽,求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率(用樹狀圖或列表法解答)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的5×5網(wǎng)格中,小方格的邊長為1.
(1)圖中格點正方形ABCD的面積為________;
(2)若連接AC,則以AC為邊的正方形的面積為________;
(3)在所給網(wǎng)格中畫一個格點正方形,使其各邊都不在格線上且面積最大,你所畫的正方形面積為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在一次數(shù)學(xué)活動課上,張明用17個邊長為1的小正方形搭成了一個幾何體,然后他請王亮用其他同樣的小正方體在旁邊再搭一個幾何體,使王亮所搭幾何體恰好可以和張明所搭幾何體拼成一個無縫隙的大長方體(不改變張明所搭幾何體的形狀),那么王亮至少還需要 個小立方體,王亮所搭幾何體的表面積為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一輛汽車和一輛摩托車分別從A,B兩地去同一個城市,它們離A地的路程隨時間變化的圖象如圖所示.則下列結(jié)論:①摩托車比汽車晚到1h;②A,B兩地的路程為20km;③摩托車的速度為45km/h,汽車的速度為60km/h;④汽車出發(fā)1小時后與摩托車相遇,此時距B地40千米.其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 1個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)題意,解答問題:
(1)如圖1,已知直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點,求線段AB的長.
(2)如圖2,類比(1)的解題過程,請你通過構(gòu)造直角三角形的方法,求出點M(3,4)與點N(﹣2,﹣1)之間的距離.
(3)在(2)的基礎(chǔ)上,若有一點D在x軸上運動,當(dāng)滿足DM=DN時,請求出此時點D的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,點C,D,E三點在同一條直線上,連接BD,BE.以下四個結(jié)論:
①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠DBC=45°;④BE2=2(AD2+AB2),
其中結(jié)論正確的個數(shù)是
A.1 B.2 C.3 D.4
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