【題目】圖1是一個小朋友玩“滾鐵環(huán)”的游戲,鐵環(huán)是圓形的,鐵環(huán)向前滾動時,鐵環(huán)鉤保持與鐵環(huán)相切.將這個游戲抽象為數(shù)學問題,如圖2.已知鐵環(huán)的半徑為25 cm,設鐵環(huán)中心為O,鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)相切點為M,鐵環(huán)與地面接觸點為A,∠MOA=α,且sinα=.
(1)求點M離地面AC的高度BM;
(2)設人站立點C與點A的水平距離AC=55 cm,求鐵環(huán)鉤MF的長度.
【答案】(1)BM=5cm;(2)MF=50cm.
【解析】
(1)過M作與AC平行的直線,與OA、FC分別相交于H、N.那么求BM的長就轉(zhuǎn)化為求HA的長,而要求出HA,必須先求出OH,在直角三角形OHM中,sinα的值,且鐵環(huán)的半徑為5個單位即OM=5,可求得HM的值,從而求得HA的值;
(2)因為∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°,∠FMN=∠MOH,又因為sin∠MOA=,所以可得出FN和FM之間的數(shù)量關系,即FN=FM,再根據(jù)MN=HN-HM,利用勾股定理即可求出FM的長.
過M作與AC平行的直線,與OA、FC分別相交于H、N,
(1)在Rt△OHM中,∠OHM=90°,OM=25,
HM=OM×sinα=15,
所以OH=20,
MB=HA=25-20=5,
所以點M距地面的高度BM為5cm;
(2)∵鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)相切,
∴∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°,∠FMN=∠MOH,
∴=sin∠MOA=,
∴FN=FM,
在Rt△FMN中,∠FNM=90°,MN=BC=AC-AB=55-15=40,
∵FM2=FN2+MN2,
即FM2=(FM)2+402,
解得:FM=50,
∴鐵環(huán)鉤的長度FM為50cm.
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【題目】如圖,在△OAB中,OA=OB,以點O為圓心的⊙O經(jīng)過AB的中點C,直線AO與⊙O相交于點E、D,OB交⊙O于點F,P是 的中點,連接CE、CF、BP.
(1)求證:AB是⊙O的切線.
(2)若OA=4,則
①當長為_____時,四邊形OECF是菱形;
②當 長為_____時,四邊形OCBP是正方形.
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【題目】二次函數(shù)y=x2+bx–1的圖象如圖,對稱軸為直線x=1,若關于x的一元二次方程x2–2x–1–t=0(t為實數(shù))在–1<x<4的范圍內(nèi)有實數(shù)解,則t的取值范圍是
A. t≥–2 B. –2≤t<7
C. –2≤t<2 D. 2<t<7
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【題目】如圖,點A、D、C、F在同一條直線上,AD=CF,AB=DE,BC=EF.
(1)求證:ΔABC≌△DEF;
(2)若∠A=55°,∠B=88°,求∠F的度數(shù).
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【題目】如圖,在直角坐標系xOy中,一直線y=2x+b經(jīng)過點A(-1,0)與y軸正半軸交于B點,在x軸正半軸上有一點D,且OB=OD,過D點作DC⊥x軸交直線y=2x+b于C點,反比例函數(shù)y=(x>O)經(jīng)過點C.
(1)求b,k的值;
(2)求△BDC的面積;
(3)在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上找一點P(異于點C),使△BDP與△BDC的面積相等,求出P點坐標.
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【題目】如圖是規(guī)格為4×6的邊長為1個單位的正方形網(wǎng)格,請在所給網(wǎng)格中按下列要求畫頂點在格點的三角形.
(1)在圖1中畫△ABC,且AB=AC=,BC=;
(2)在圖2中畫一個三邊長均為無理數(shù),且各邊都不相等的直角△DEF(請注明各邊長).
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【題目】如圖,在邊長為2的正方形ABCD中,P是BC邊上一動點(點P不與B、C重合),將△ABP沿直線AP翻折,點B落在點E處;在CD上有一點M,使得將△CMP沿直線MP翻折后,點C落在直線PE上的點F處,直線PE交CD于點N,連接MA、NA,則以下結(jié)論:①△CMP∽△BPA;②四邊形AMCB的面積最大值為2.5;③△ADN≌△AEN;④線段AM的最小值為2.5;⑤當P為BC中點時,AE為線段NP的中垂線.正確的有_____(只填序號)
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【題目】如圖,AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠ECD=90°,且∠EBD=38°,則∠AEB=( )
A.52°B.90°C.128°D.38°
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB=AD,AC=5,∠DAB=∠DCB=90°,則四邊形ABCD的面積為( 。
A. 15 B. 12.5 C. 14.5 D. 17
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