Question

13．已知：△ABC，∠ABC=90°，tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，點D點在AC邊的延長線上，且DB²=DC•DA（如圖）．
（1）求$\frac{DC}{CA}$的值；
（2）如果點E在線段BC的延長線上，聯(lián)結AE．過點B作AC的垂線，交AC于點F，交AE于點G．
①如圖1，當CE=3BC時，求$\frac{BF}{FG}$的值；
②如圖2，當CE=BC時，求$\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△BEG}}$的值；

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)和已知條件得出得出$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{DC}{DB}$=$\frac{DB}{DA}$，證出△DBC∽△DAB，得出對應邊成比例，即可得出結果；
（2）①作EH⊥BG交BG的延長線于H，由平行線得出△BCF∽△BEH，得出$\frac{BF}{BH}$=$\frac{CF}{EH}$=$\frac{BC}{BE}$=$\frac{1}{4}$，證明△CFB∽△BFA，得出$\frac{CF}{BF}$=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，得出$\frac{CF}{AF}$=$\frac{CF}{BF}$•$\frac{BF}{AF}$=$\frac{1}{4}$，證出AF=EH，再由平行線證出△AFG∽△EHG，得出$\frac{FG}{GH}$=$\frac{AF}{EH}$=1，設BF=a，則BH=4a，得出FG=GH=$\frac{3}{2}$a，即可得出結果；
②作EH⊥BG交BG的延長線于H，同①1得出$\frac{CF}{AF}$=$\frac{CF}{BF}$•$\frac{BF}{AF}$=$\frac{1}{4}$，設CF=a，則AF=4a，EH=2a，CA=CF+AF=5a，由（1）知$\frac{DC}{CA}$=$\frac{1}{3}$，得出DC=$\frac{5}{3}$a，由平行線得出△AFG∽△EHG，得出$\frac{FG}{GH}$=$\frac{AF}{EH}$=$\frac{4a}{2a}$=2，設GH=b，則FG=2b，BF=FH=3b，BG=BF+FG=5b，由三角形的面積公式即可得出結果．

解答 解（1）在Rt△ABC中，tan∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∵DB²=DC•DA，
∴$\frac{DC}{DB}$=$\frac{DB}{DA}$，
∵∠D=∠D，
∴△DBC∽△DAB，
∴$\frac{DC}{DB}$=$\frac{DB}{DA}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DC}{DA}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{DC}{CA}$=$\frac{DC}{DA-DC}$=$\frac{1}{3}$；
（2）①作EH⊥BG交BG的延長線于H，如圖1所示：
∵CE=3BC，
∴$\frac{BC}{BE}$=$\frac{1}{4}$，
∵BF⊥AD，
∴AD∥EH，
∴△BCF∽△BEH，
∴$\frac{BF}{BH}$=$\frac{CF}{EH}$=$\frac{BC}{BE}$=$\frac{1}{4}$，
∵∠ABC=90°，BF⊥AD，
∴△CFB∽△BFA，
∴$\frac{CF}{BF}$=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CF}{AF}$=$\frac{CF}{BF}$•$\frac{BF}{AF}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
∵$\frac{CF}{EH}$=$\frac{1}{4}$，
∴AF=EH，
∵AD∥EH，
∴△AFG∽△EHG，
∴$\frac{FG}{GH}$=$\frac{AF}{EH}$=1，
設BF=a，
∵$\frac{BF}{BH}$=$\frac{1}{4}$，
∴BH=4a，
∴FH=BH-BF=4a-a=3a，
∴FG=GH=$\frac{3}{2}$a，
∴$\frac{BF}{FG}$=$\frac{a}{\frac{3}{2}a}$=$\frac{2}{3}$；
②作EH⊥BG交BG的延長線于H，如圖2所示：
∵CE=BC，
∴$\frac{BC}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∵BF⊥AD，
∴AD∥EH，
∴△BCF∽△BEH，
∴$\frac{BF}{BH}$=$\frac{CF}{EH}$=$\frac{BC}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠ABC=90°，BF⊥AD，
∴△CFB∽△BFA，
∴$\frac{CF}{BF}$=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CF}{AF}$=$\frac{CF}{BF}$•$\frac{BF}{AF}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
設CF=a，則AF=4a，EH=2a，CA=CF+AF=a+4a=5a，
由（1）知$\frac{DC}{CA}$=$\frac{1}{3}$，
∴DC=$\frac{5}{3}$a，
∵AD∥EH，
∴△AFG∽△EHG，
∴$\frac{FG}{GH}$=$\frac{AF}{EH}$=$\frac{4a}{2a}$=2，
設GH=b，則FG=2b，BF=FH=3b，BG=BF+FG=3b+2b=5b，
∴$\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△BEG}}$=$\frac{\frac{1}{2}DC•BF}{\frac{1}{2}BG•EH}$=$\frac{\frac{5}{3}a•3b}{5b•2a}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質、平行線的性質、三角形面積的計算、比例的性質等知識；本題綜合性強，難度較大，特別是（2）中，需要多次證明三角形相似才能得出結果．