【題目】如圖1,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A(2,0),B(﹣4,0)兩點.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若拋物線交y軸于C點,在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使得△QAC的周長最?若存在,求出Q點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)在拋物線的第二象限圖象上是否存在一點P,使得△PBC的面積最大?若存在,求出點P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值;若不存,請說明理由.
【答案】
(1)
解:將A(2,0),B(﹣4,0)代入得:
,
解得: ,
則該拋物線的解析式為:y=﹣x2﹣2x+8
(2)
解:如圖1,點A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點B,設(shè)直線BC的解析式為:
y=kx+d,
將點B(﹣4,0)、C(0,8)代入得:
,
解得: ,
故直線BC解析式為:y=2x+8,
直線BC與拋物線對稱軸 x=﹣1的交點為Q,此時△QAC的周長最。
解方程組 得,
則點Q(﹣1,6)即為所求
(3)
解:如圖2,過點P作PE⊥x軸于點E,
P點(x,﹣x2﹣2x+8)(﹣4<x<0)
∵S△BPC=S四邊形BPCO﹣S△BOC=S四邊形BPCO﹣16
若S四邊形BPCO有最大值,則S△BPC就最大
∴S四邊形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC
= BEPE+ OE(PE+OC)
= (x+4)(﹣x2﹣2x+8)+ (﹣x)(﹣x2﹣2x+8+8)
=﹣2(x+2)2+24,
當(dāng)x=﹣2時,S四邊形BPCO最大值=24,
∴S△BPC最大=24﹣16=8,
當(dāng)x=﹣2時,﹣x2﹣2x+8=8,
∴點P的坐標(biāo)為(﹣2,8).
【解析】(1)直接利用待定系數(shù)求出二次函數(shù)解析式即可;(2)首先求出直線BC的解析式,再利用軸對稱求最短路線的方法得出答案;(3)根據(jù)S△BPC=S四邊形BPCO﹣S△BOC=S四邊形BPCO﹣16,得出函數(shù)最值,進而求出P點坐標(biāo)即可.
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【題目】如圖,將在Rt△ABC繞其銳角頂點A旋轉(zhuǎn)90°得到在Rt△ADE,連接BE,延長DE、BC相交于點F,則有∠BFE=90°,且四邊形ACFD是一個正方形.
(1)判斷△ABE的形狀,并證明你的結(jié)論;
(2)用含b代數(shù)式表示四邊形ABFE的面積;
(3)求證:a2+b2=c2.
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【題目】點P、Q分別是邊長為4cm的等邊的邊AB、BC上的動點,點P從頂點A,點Q從頂點B同時出發(fā),且它們的速度都是,設(shè)運動時間為t秒.
連接AQ、CP交于點M,則在P、Q運動的過程中,變化嗎:若變化,則說明理由,若不變,則求出它的度數(shù);
連接PQ,
當(dāng)秒時,判斷的形狀,并說明理由;
當(dāng)時,則______秒直接寫出結(jié)果
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【題目】下列命題中,正確的有( )
①Rt△ABC中,已知兩邊長分別為3和4,則第三邊長為5;
②有一個內(nèi)角等于其他兩個內(nèi)角和的三角形是直角三角形;
③三角形的三邊分別為a,b,C,若a2+c2=b2,那么∠C=90°;
④若△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:5:6,則△ABC是直角三角形.
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
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【題目】我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理,創(chuàng)制了一幅“弦圖”,后人稱其為“趙爽弦圖”(如圖),圖由弦圖變化得到,它是由作個全等的直角三角形拼接而成,記圖中正方形,正方形,正方形的面積分別為、、,若,則的值是( )
A. 5 B. C. D. 4
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【題目】如圖①,有張寫有實數(shù)的卡片,它們的背面都相同,現(xiàn)將它們背面朝上洗勻后如圖②擺放,從中任意翻開兩張都是無理數(shù)的概率是( )
A. B. C. D.
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【題目】在數(shù)學(xué)研究課上,老師出示如圖1所示的長方形紙條,,,然后在紙條上任意畫一條截線段,將紙片沿折疊,與交于點,得到,如圖2所示:
(1)若,求的大小;
(2)改變折痕位置,判斷的形狀,并說明理由;
(3)愛動腦筋的小明在研究的面積時,發(fā)現(xiàn)邊上的高始終是個不變的值.根據(jù)這一發(fā)現(xiàn),他很快研究出的面積最小值為,求的大。
(4)小明繼續(xù)動手操作,發(fā)現(xiàn)了面積的最大值,請你求出這個最大值.
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【題目】如圖,已知拋物線y=﹣ x2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點A(0,8)、B(8,0)和點E,動點C從原點O開始沿OA方向以每秒1個單位長度移動,動點D從點B開始沿BO方向以每秒1個單位長度移動,動點C,D同時出發(fā),當(dāng)動點D到達原點O時,點C,D停止運動.
(1)直接寫出拋物線的解析式:;
(2)求△CED的面積S與D點運動時間t的函數(shù)解析式;當(dāng)t為何值時,△CED的面積最大?最大面積是多少?
(3)當(dāng)△CED的面積最大時,在拋物線上是否存在點P(點E除外),使△PCD的面積等于△CED的最大面積?若存在,求出P點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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