【題目】在數(shù)學(xué)研究課上,老師出示如圖1所示的長方形紙條,,,然后在紙條上任意畫一條截線段,將紙片沿折疊,與交于點(diǎn),得到,如圖2所示:
(1)若,求的大小;
(2)改變折痕位置,判斷的形狀,并說明理由;
(3)愛動腦筋的小明在研究的面積時(shí),發(fā)現(xiàn)邊上的高始終是個(gè)不變的值.根據(jù)這一發(fā)現(xiàn),他很快研究出的面積最小值為,求的大小;
(4)小明繼續(xù)動手操作,發(fā)現(xiàn)了面積的最大值,請你求出這個(gè)最大值.
【答案】(1)∠MKN=40°;(2)等腰三角形;(3)45°或135°;(4)△MNK的面積最大值為1.3.
【解析】
(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)求出∠KNM,∠KMN的度數(shù),根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求解;
(2)利用翻折變換的性質(zhì)以及兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得出KM=KN;
(3)利用當(dāng)△KMN的面積最小值為時(shí),KN=BC=1,故KN⊥B′M,得出∠1=∠NMB=45°,同理當(dāng)將紙條向下折疊時(shí),∠1=∠NMB=135°;
(4)分情況一:將矩形紙片對折,使點(diǎn)B與D重合,此時(shí)點(diǎn)K也與D重合;情況二:將矩形紙片沿對角線AC對折,此時(shí)折痕即為AC兩種情況討論求解.
(1)如圖1,
∵四邊形ABCD是長方形,
∴AM∥DN,
∴∠KNM=∠1,
∵∠1=70°,
∴∠KNM=∠KMN=∠1=70°,
∴∠MKN=40°;
(2)等腰三角形,理由如下:
∵AM∥BN,∴∠1=∠MND,
∵將紙片沿MN折疊,∴∠1=∠KMN,∠MND=∠KMN,
∴KM=KN,
故的形狀是等腰三角形;
(3)如圖2,當(dāng)△KMN的面積最小值為時(shí),KN=BC=1,故KN⊥B′M,
∵∠NMB=∠KMN,∠KMB=90°,
∴∠1=∠NMB=45°,
同理當(dāng)將紙條向下折疊時(shí),∠1=∠NMB=135°,
所以∠1的度數(shù)為45°或135°;
(4)分兩種情況:
情況一:如圖3,將矩形紙片對折,使點(diǎn)B與D重合,此時(shí)點(diǎn)K也與D重合,
MK=MB=x,則AM=5﹣x,
由勾股定理得12+(5﹣x)2=x2,
解得x=2.6,
∴MD=ND=2.6,
S△MNK=S△MND=×1×2.6=1.3;
情況二:如圖4,將矩形紙片沿對角線AC對折,此時(shí)折痕即為AC,
MK=AK=CK=x,則DK=5﹣x,
同理可得MK=NK=2.6,
∵M(jìn)D=1,
∴S△MNK=×1×2.6=1.3,
所以△MNK的面積最大值為1.3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=kx-6經(jīng)過點(diǎn)A(4,0),直線y=-3x+3與x軸交于點(diǎn)B,且兩直線交于點(diǎn)C.
(1)求k的值;
(2)求△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A(2,0),B(﹣4,0)兩點(diǎn).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若拋物線交y軸于C點(diǎn),在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使得△QAC的周長最?若存在,求出Q點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)在拋物線的第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)P,使得△PBC的面積最大?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值;若不存,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上,延長BC至點(diǎn)D,使DC=BC.延長DA與⊙O的另一個(gè)交點(diǎn)為E,連接AC,CE.
(1)求證:∠B=∠D;
(2)若AB=13,BC﹣AC=7,求CE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O為BC的中點(diǎn)。
(1)寫出點(diǎn)O到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離的大小關(guān)系并說明理由;
(2)如果點(diǎn)M、N分別在線段AB、AC上移動,在移動中保持AN=BM,請判斷△OMN的形狀,并證明你的結(jié)論。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(9分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(-3,2),B(0,4),C(0,2).
(1)將△ABC以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°,畫出旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的△A1B1C;平移△ABC,若A的對應(yīng)點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(0,4),畫出平移后對應(yīng)的△A2B2C2;
(2)若將△A1B1C繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以得到△A2B2C2,請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB=BC,對角線BD平分ABC,P是BD上一點(diǎn),過點(diǎn)P作PM^AD,PN^CD,垂足分別為M、N。
(1)求證:ADB=CDB;
(2)若ADC=90°,求證:四邊形MPND是正方形。
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【題目】如圖所示,在四邊形ABCD中,∠A為直角,AB=16,BC=25,CD=15,AD=12,
(1)試說明BD⊥CD
(2)求四邊形ABCD的面積.
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