Question

已知：如圖，在等邊△ABC中取點(diǎn)P，使得PA，PB，PC的長(zhǎng)分別為3，4，5，將線段AP以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到線段AD，連接BD，下列結(jié)論：
①△ABD可以由△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；②點(diǎn)P與點(diǎn)D的距離為3；③∠APB=150°；④S△APC+S△APB=6+

9

4

3

．
其中正確的結(jié)論有（　�。�

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定定理SAS證得△ADP≌△APC，即△ABD可以由△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；
②連接PD．根據(jù)①中的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知△APD是等邊三角形；
③利用勾股定理的逆定理可得△PBD為直角三角形，且∠BPD=90°，則∠APB=∠APD+∠BPD=60°+90°=150°；
④由△ADB≌△APC得S_△ADB=S_△APC，則有S_△APC+S_△APB=S_△ADB+S_△APB=S_△ADP+S_△BPD，根據(jù)等邊三角形的面積為邊長(zhǎng)平方的

3

4

倍和直角三角形的面積公式即可得到S_△ADP+S_△BPD=

3

4

×3²+

1

2

×3×4=6+

3

解答：解：連PD，如圖，
∵線段AP以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD，
∴AD=AP，∠DAP=60°，
又∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∴∠DAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP，
∴∠DAP=∠PAC，
∴△ABD可以由△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，所以①正確；
∵DA=PA，∠DAP=60°，
∴△ADP為等邊三角形，
∴PD=PA=3，所以②正確；
在△PBD中，PB=4，PD=3，由①得到BD=PC=5，
∵3²+4²=5²，即PD²+PB²=BD²，
∴△PBD為直角三角形，且∠BPD=90°，
由②得∠APD=60°，
∴∠APB=∠APD+∠BPD=60°+90°=150°，所以③正確；
∵△ADB≌△APC，
∴S_△ADB=S_△APC，
∴S_△APC+S_△APB=S_△ADB+S_△APB=S_△ADP+S_△BPD=

3

4

×3²+

1

2

×3×4=6+

9 3

4

，所以④正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角線段，對(duì)應(yīng)線段線段；對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理．