【題目】(10分)如圖1,在正方形ABCD中,E、F分別是邊AD、DC上的點,且AF⊥BE.
(1)求證:AF=BE;
(2)如圖2,在正方形ABCD中,M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上的點,且MP⊥NQ.MP與NQ是否相等?并說明理由.
【答案】(1)證明:如圖(1),在正方形ABCD中,AB=DA,∠BAE=∠D=90°,
∴∠DAF+∠BAF=90°,
∵AF⊥BE,∴∠ABE+∠BAF=90°,∴∠ABE=∠DAF,
∵在△ABE和△DAF中,
∴△ABE≌△DAF(ASA),∴BE=AF.
(2)解:MP與NQ相等.理由如下:
如圖(2),過點A作AF∥MP交CD于F,過點B作BE∥NQ交AD于E,則BE=NQ,AF=MP.只需證BE=AF即可.與(1)的情況完全相同.
【解析】試題分析:(1)要證明AF=BE成立,只需要根據(jù)條件證明△ABE≌△DAF即可;(2)過點A作AF∥MP交CD于F,過點B作BE∥NQ交AD于E,將問題轉(zhuǎn)化為證明AF=BE,即可應用(1)的結論.
試題解析:(1)證明:在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAE=∠D=90°,
∴∠DAF+∠BAF=90°,∵AF⊥BE,∴∠ABE+∠BAF=90°,
∴∠ABE=∠DAF,∵在△ABE和△DAF中,
,∴△ABE≌△DAF(ASA),∴AF=BE;
(2)解:MP與NQ相等.
理由如下:如圖,過點A作AF∥MP交CD于F,過點B作BE∥NQ交AD于E,
由(1)可知MP=NQ.
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【題目】如圖,等邊△OAB的邊長為2,點B在x軸上,點A在雙曲線y=(k≠0)上,將△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)α度(0<α<360°),使點A仍落在雙曲線y=(k≠0)上,則α的值不可能是( )
A.30 B.180 C.200 D.210
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【題目】如圖,ABCD中,點O是AC與BD的交點,過點O的直線與BA、DC的延
長線分別交于點E、F.
(1)求證:△AOE≌△COF;
(2)請連接EC、AF,則EF與AC滿足什么條件時,四邊形AECF是矩形,并說明理由.
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【題目】如圖,⊙O是△ACD的外接圓,AB是直徑,過點D作直線DE∥AB,過點B作直線BE∥AD,兩直線交于點E,如果∠ACD=45°,⊙O的半徑是4cm
(1)請判斷DE與⊙O的位置關系,并說明理由;
(2)求圖中陰影部分的面積(結果用π表示).
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【題目】已知a與b互為倒數(shù),c與d互為相反數(shù),x的倒數(shù)等于它本身,且x>0.求3ab﹣2(c+d)+x的值.
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【題目】校車安全是近幾年社會關注的熱點問題,安全隱患主要是超速和超載.某中學九年級數(shù)學活動小組進行了測試汽車速度的實驗,如圖,先在筆直的公路l旁選取一點A,在公路l上確定點B、C,使得AC⊥l,∠BAC=60℃,再在AC上確定點D,使得∠BDC=75°,測得AD=40米,已知本路段對校車限速是50千米/時,測得某校車從B到C勻速行駛用時10秒。
(1)、求CD的長。(結果保留根號)
(2)、問這輛車在本路段是否超速?請說明理由(參考數(shù)據(jù):=1.41,=1.73
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【題目】下列調(diào)查中,最適合采用全面調(diào)查(普查)方式的是( )
A. 對國慶期間來渝游客滿意度的調(diào)查
B. 對我校某班學生數(shù)學作業(yè)量的調(diào)查
C. 對全國中學生手機使用時間情況的調(diào)查
D. 環(huán)保部門對嘉陵江水質(zhì)情況的調(diào)查
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【題目】某個樣本的頻數(shù)分布直方圖中一共有4組,從左至右的組中值依次為5,8,11,14,頻數(shù)依次為5,4,6,5,則頻率為0.2的一組為( )
A.6.5~9.5
B.9.5~12.5
C.8~11
D.5~8
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