Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，動(dòng)點(diǎn)P在線段BC上，點(diǎn)Q在線段AB上，且PQ＝BQ，延長(zhǎng)QP交射線AC于點(diǎn)D．

（1）求證：QA＝QD；

（2）設(shè)∠BAP＝α，當(dāng)2tanα是正整數(shù)時(shí)，求PC的長(zhǎng)；

（3）作點(diǎn)Q關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)Q′，連結(jié)QQ′，AQ′，DQ′，延長(zhǎng)BC交線段DQ′于點(diǎn)E，連結(jié)AE，QQ′分別與AP，AE交于點(diǎn)M，N（如圖2所示）．若存在常數(shù)k，滿足kMN＝PEQQ′，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）PC的長(zhǎng)為或（3）8

【解析】

（1）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠BPQ＝∠CPD，由直角三角形的性質(zhì)得出∠BAC＝∠D，即可得出結(jié)論；

（2）過點(diǎn)P作PH⊥AB于H，設(shè)PH＝3x，BH＝4x，BP＝5x，由題意知tanα＝1或，當(dāng)tanα＝1時(shí)，HA＝PH＝3x，與勾股定理得出3x+4x＝5，解得x＝，即可求出PC長(zhǎng)；

當(dāng)tanα＝時(shí)，HA＝2PH﹣6x，得出6x+4x＝5，解得x＝，即可求出PC長(zhǎng)；

（3）設(shè)QQ′與AD交于點(diǎn)O，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得出AQ′＝AQ＝DQ＝DQ′，得出四邊形AQDQ′是菱形，由菱形的性質(zhì)得出QQ′⊥AD，AO＝AD，證出四邊形BEQ'Q是平行四邊形，得出QQ′＝BE，設(shè)CD＝3m，則PC＝4m，AD＝3+3m，即QQ′﹣BE＝4m+4，PE＝8m，由三角函數(shù)得出＝tan∠PAC＝，即可得出結(jié)果．

（1）證明：∵PQ＝BQ，

∴∠B＝∠BPQ＝∠CPD，

∵∠ACB＝∠PCD＝90°，

∴∠A+∠BAC＝90°，∠D+∠CPD＝90°，

∴∠BAC＝∠D，

∴QA＝QD；

（2）解：過點(diǎn)P作PH⊥AB于H，如圖1所示：

設(shè)PH＝3x，BH＝4x，BP＝5x，

由題意得：tan∠BAC＝，∠BAP＜∠BAC，

∴2tanα是正整數(shù)時(shí)，tanα＝1或，

當(dāng)tanα＝1時(shí)，HA＝PH＝3x，

∴3x+4x＝＝5，

∴x＝，

即PC＝4﹣5x＝；

當(dāng)tanα＝時(shí)，HA＝2PH﹣6x，

∴6x+4x＝5，

∴x＝，

即PC＝4﹣5x＝；

綜上所述，PC的長(zhǎng)為或；

（3）解：設(shè)QQ′與AD交于點(diǎn)O，如圖2所示：

由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：AQ′＝AQ＝DQ＝DQ′，

∴四邊形AQDQ′是菱形，

∴QQ′⊥AD，AO＝AD，

∵BC⊥AC，

∴QQ′∥BE，

∵BQ∥EQ′，

∴四邊形BEQ'Q是平行四邊形，

∴QQ′＝BE，

設(shè)CD＝3m，則PC＝4m，AD＝3+3m，

即QQ′﹣BE＝4m+4，PE＝8m，

∵＝tan∠PAC＝，

∴＝，

即MN＝2MO＝4m（1+m），

∴k＝＝＝8．