Question

【題目】已知，，直線經(jīng)過點(diǎn)，作，垂足為，連接.

（感知）如圖①，點(diǎn)、在同側(cè)，且點(diǎn)在右側(cè)，在射線上截取，連接，可證，從而得出， ，進(jìn)而得出 度．

（探究）如圖②，當(dāng)點(diǎn)、在異側(cè)時(shí)，（感知）得出的的大小是否改變？若不改變，給出證明；若改變，請(qǐng)求出的大小.

（應(yīng)用）在直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng) ，時(shí)，直接寫出的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】45；不改變，證明見解析；或.

【解析】

[感知]證明△BCD≌△ECA（SAS）即可解決問題

[探究]結(jié)論不變，證明△BCD≌△ECA（SAS）即可解決問題．

[應(yīng)用]分兩種情形分別求解即可解決問題．

[感知]，如圖1中，在射線AM上截取AE=BD，連結(jié)CE．

∵AC⊥DC，DB⊥MN，

∴∠ACD=∠DBA=90°．

∴∠CDB+∠CAB=180°，

∵∠CAB+∠CAE=180°

∴∠D=∠CAE，∵CD=AC，AE=BD，

∴△BCD≌△ECA（SAS），

∴BC=EC，∠BCD=∠ECA，

∵∠ACE+∠ECD=90°，

∴∠ECD+∠DCB=90°，

即∠ECB=90°，

∴∠ABC=45°．

故答案為45

[探究]不改變．理由如下：

如圖，如圖2中，在射線AN上截取AE=BD，連接CE，設(shè)MN與CD交于點(diǎn)O．

∵AC⊥DC，DB⊥MN，

∴∠ACD=∠DBA=90°，

∵∠AOC=∠DOB，

∴∠D=∠EAC，CD=AC，

∴△BCD≌△ECA（SAS），

∴BC=EC，∠BCD=∠ECA，

∵∠ACE+∠ECD=90°，

∴∠ECD+∠DCB=90°，

即∠ECB=90°，

∴∠ABC=45°．

[拓展]如圖①-1中，連接AD．

∴∠ACD+∠ABD=180°，

∴A，C，D，B四點(diǎn)共圓，

∴∠DAB=∠DCB=30°，

∴AB=BD=，

∴EB=AE+AB=+，

∵△ECB是等腰直角三角形，

∴BC=．

如圖②中，同法可得BC=-1．

綜上所述，BC的長(zhǎng)為+1或-1．