【題目】如圖,在中,為直線上任意一點(diǎn),給出以下判斷:

①若點(diǎn),距離相等,且,則;②若,則;③若,則;④若,且,則.其中正確的是________(把所有正確結(jié)論序號(hào)都填在橫線上)

【答案】①②④

【解析】

①如圖1,過DDE⊥ABE,DF⊥ACF,通過證明Rt△BDE≌Rt△CDF,得到∠B=∠C,即可得到結(jié)論;
②由垂直的定義得到∠ADB=∠ADC=90°,由AD2=BDDC,得到,證得△ABD∽△ACD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠BAD=∠C,即可得到結(jié)論;
③作AE⊥BCE,根據(jù)勾股定理得到AB2=AE2+BE2,AD2=AE2+DE2,再兩式相減即可求解;
④利用等角的余角相等得到∠B=∠DAC,則可判斷Rt△ADB∽R(shí)t△CDA,所以AD:CD=BD:AD,然后根據(jù)比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

解:①圖1,過DDE⊥ABE,DF⊥ACF,
∵點(diǎn)DAB,AC距離相等,
∴DE=DF,
Rt△BDERt△CDF中,,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF,
∴∠B=∠C,
∴AB=AC; ①正確

AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∵AD2=BDDC,

∴△ABD∽△ACD,
∴∠BAD=∠C,
∵∠B+∠BAD=90°,
∴∠C+∠B=90°,
∴∠BAC=90°; ②正確

③如圖2,作AE⊥BCE,則
AB2=AE2+BE2,AD2=AE2+DE2,
AB2-AD2=(AE2+BE2)-(AE2+DE2)=BE2-DE2=(BE+DE)(BE-DE)=BDDC,
AD2+BDDC=AB2,
∵AB=AC,
∴AD2+BDDC=AC2;

如圖3,作AE⊥BCE,則
AB2=AE2+BE2,AD2=AE2+DE2,
AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)=DE2-BE2=(BE+DE)(DE-BE)=BDDC,
AD2-BDDC=AB2
∵AB=AC,
∴AD2-BDDC=AC2;故③錯(cuò)誤;
④∵AD⊥BC于點(diǎn)D,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∴∠B+∠BAD=90°,
∵∠BAD=∠DAC=90°,
∴∠B=∠DAC,
∴Rt△ADB∽R(shí)t△CDA,
∴AD:CD=BD:AD,
∴AD2=CDBD.④正確
故答案為:①②④.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知△ABC是等邊三角形.

(1)將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角θ(0°<θ<180°),得到△ADE,BDEC所在直線相交于點(diǎn)O.

如圖a,當(dāng)θ=20°時(shí),△ABD△ACE是否全等?   (填”),∠BOE=   度;

當(dāng)△ABC旋轉(zhuǎn)到如圖b所在位置時(shí),求∠BOE的度數(shù);

(2)如圖c,在ABAC上分別截取點(diǎn)B′C′,使AB=AB′,AC=AC′,連接B′C′,將△AB′C′繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角(0°<θ<180°),得到△ADE,BDEC所在直線相交于點(diǎn)O,請(qǐng)利用圖c探索∠BOE的度數(shù),直接寫出結(jié)果,不必說明理由.

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【題目】不透明的袋子中裝有 4 個(gè)相同的小球,它們除顏色外無其它差別,把它們分別標(biāo)號(hào):1、2、3、4

(1)隨機(jī)摸出一個(gè)小球后,放回并搖勻,再隨機(jī)摸出一個(gè),用列表或畫樹狀圖的方法求出“兩次取的球標(biāo)號(hào)相同”的概率

(2)隨機(jī)摸出兩個(gè)小球,直接寫出“兩次取出的球標(biāo)號(hào)和等于 4”的概率.

(3)梯形ABCD中,AB∥DC,∠B=90°,E 為直線 BC上一點(diǎn),若AB=5,BC=12,DC=7,當(dāng)BE=?時(shí),△ABE△DEC相似.

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A(0,3)、B(3,0),以點(diǎn)B為圓心、2為半徑的⊙B上有一動(dòng)點(diǎn)P.連接AP,若點(diǎn)CAP的中點(diǎn),連接OC,則OC的最小值為(  )

A. 1 B. 2﹣1 C. D. ﹣1

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【題目】如圖,AB⊙O的直徑,AC為弦,∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D,過點(diǎn)D的切線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

求證:(1)DE⊥AE;

(2)AE+CE=AB.

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【題目】如圖,CB=CA,∠ACB=90°,點(diǎn)D在邊BC上(與B、C不重合),四邊形ADEF為正方形,過點(diǎn)FFG⊥CA,交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接FB,交DE于點(diǎn)Q,給出以下結(jié)論:①AC=FG;②SFAB:S四邊形CBFG=1:2;③∠ABC=∠ABF;④AD2=FQAC,其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是_____

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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C,D是⊙O上的點(diǎn),且OC∥BD,AD分別與BC,OC相交于點(diǎn)E,F(xiàn),則下列結(jié)論:

①AD⊥BD;②∠AOC=∠AEC;③CB平分∠ABD;④AF=DF;⑤BD=2OF;⑥△CEF≌△BED,其中一定成立的是( )

A. ②④⑤⑥ B. ①③⑤⑥ C. ②③④⑥ D. ①③④⑤

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【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點(diǎn),直線l是拋物線的對(duì)稱軸.

(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;

(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PAC的周長(zhǎng)最小時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)在直線l上是否存在點(diǎn)M,使MAC為等腰三角形?若存在,直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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【題目】如圖,在左邊托盤A(固定)中放置一個(gè)生物,在右邊托盤B(可左右移動(dòng))中放置一定重量的砝碼,可使得儀器左右平衡,改變托盤B與支撐點(diǎn)M的跳高,記錄相應(yīng)的托盤B中的砝碼質(zhì)量,得到下表:

托盤B與點(diǎn)M的距離x(cm)

10

15

20

25

30

托盤B中的砝碼質(zhì)量y(g)

30

20

15

12

10

(1)把上表中(x,y)的各級(jí)對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo),在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描出其余的點(diǎn),并用一條光滑的曲線連接起來,觀察所畫的圖象,猜想yx的函數(shù)關(guān)系,求出該函數(shù)關(guān)系式.

(2)當(dāng)托盤B向左移動(dòng)(不能超過點(diǎn)M)時(shí),應(yīng)往托盤B中添加砝碼還是減少砝碼?為什么?

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