【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2﹣2x﹣3交x軸于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),將該拋物線位于x軸上方的曲線記作M,將該拋物線位于x軸下方的部分沿x軸翻折,翻折后所得曲線記作N,曲線N交y軸于點C,連接AC,BC.
(1)求曲線N所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求△ABC外接圓的面積;
(3)點P為曲線M或曲線N上的動點,點Q為x軸上的一個動點,若以點B,C,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形,請直接寫出點Q的坐標(biāo);
(4)在直線BC上方的曲線M上確定兩個點D1,D2,使得==S△ABC.并求出點D1,D2的坐標(biāo);在曲線M或N上是否存在五個點T1,T2,T3,T4,T5,使得這五個點分別與點B,C圍成的三角形的面積為?若存在,直接寫出這五個點T1,T2,T3,T4,T5的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)5π;(3)Q(1,0)或Q(2﹣,0)或Q(2+,0)時以點B,C,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形;(4)存在,T1(﹣,)或T2(,)或T3(,)或T4(,)或T5(,).
【解析】
(1)由N與M圖象下方的部分關(guān)于x軸對稱,則可求N的解析式;
(2)求出A、B、C點坐標(biāo),分別作BC與AB的垂直平分線交于點O',則O'為△ABC的外接圓,由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可求外接圓半徑;
(3)分兩種情況:當(dāng)P點在M上時,設(shè)P(m,m2﹣2m﹣3),Q(n,0),當(dāng)P點在N上時,設(shè)P(m,﹣m2+2m+3),Q(n,0),再在每種情況中分兩種情況①當(dāng)BQ∥PC,BQ=PC時,②當(dāng)BP∥CQ,BP=CQ時,利用平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì),中點重合聯(lián)立方程組求解;
(4)由已知可得D1D2所在直線與直線BC平行,D1D2所在直線與直線BC間的距離為2,設(shè)D1D2的直線解析式為y=﹣x+b,由b﹣3=4,可求y=﹣x+7,再與拋物線聯(lián)立方程組即可求D1、D2點坐標(biāo);T1,T2,T3,T4,T5到直線BC的距離為,設(shè)與BC平行的直線為y=﹣x+t,則|t﹣3|=,則五個點分別在直線y=﹣x+或y=﹣x+上,再將直線與M、N的解析式聯(lián)立即可求坐標(biāo).
解:(1)∵N與M圖象下方的部分關(guān)于x軸對稱,
∴N所在函數(shù)解析式為y=﹣x2+2x+3;
(2)令x2﹣2x﹣3=0,解得x=﹣1或x=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0),
∵曲線N交y軸于點C,
∴C(0,3),
分別作BC與AB的垂直平分線交于點O',則O'為△ABC的外接圓,
∵Rt△BOC為等腰直角三角形,
∴OO'=OH=O'H=1,
∵HB=2,
∴O'B=,
∵O'B是△ABC外接圓的半徑,
∴△ABC外接圓的面積=5π;
(3)當(dāng)P點在M上時,設(shè)P(m,m2﹣2m﹣3),Q(n,0),
∴m≥3或m≤﹣1;
①當(dāng)BQ∥PC,BQ=PC時,B、C的中點為(,),P、Q的中點為(,),
∴=,解得m=1+或m=1﹣,
=,解得n=2﹣或n=2+,
∴Q(2﹣,0)或Q(2+,0);
②當(dāng)BP∥CQ,BP=CQ時,B、Q的中點為(,0),P、C的中點為(,),
∴=0,解得m=0或m=2(都不符合);
當(dāng)P點在N上時,設(shè)P(m,﹣m2+2m+3),Q(n,0),
∴﹣1≤m≤3,
③當(dāng)BQ∥PC,BQ=PC時,B、C的中點為(,),P、Q的中點為(,),
∴=,解得m=0或m=2,
=,解得n=3或n=1,
∴Q(1,0)或Q(3,0),
∵Q(3,0)與B(3,0)重合,
∴Q(1,0);
④當(dāng)BP∥CQ,BP=CQ時,B、Q的中點為(,0),P、C的中點為(,),
∴=0,解得m=1+或m=1﹣(都不符合);
綜上所述:Q(1,0)或Q(2﹣,0)或Q(2+,0)時以點B,C,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形;
(4)∵==S△ABC,
∴D1D2所在直線與直線BC平行,
∵BC=3,
設(shè)A點到BC的距離為h,
∵△ABC的面積=×3h=×4×3,
∴h=2,
∴D1D2所在直線與直線BC間的距離為2,
設(shè)D1D2的直線解析式為y=﹣x+b,
∴b﹣3=4,
∴b=7,
∴y=﹣x+7,
聯(lián)立,解得x=或x=,
∴D1(,),D2(,);
聯(lián)立,解得x無解;
綜上所述:D1(,),D2(,);
∵T1,T2,T3,T4,T5與點B,C圍成的三角形的面積為,
∴T1,T2,T3,T4,T5到直線BC的距離為,
設(shè)與BC平行的直線為y=﹣x+t,
∴|t﹣3|=,
∴t=或t=,
∴y=﹣x+或y=﹣x+,
當(dāng)點在M上時,x≥3或x≤﹣1,
聯(lián)立,解得x=或x=﹣,
∴x=﹣,
∴T1(﹣,);
聯(lián)立,解得x=或x=,
∴T2(,)或T3(,);
當(dāng)點在N上時,﹣1≤x≤3,
聯(lián)立,解得x=(舍)或x=,
∴T4(,);
聯(lián)立,解得x=,
∴T5(,);
綜上所述:存在五個點符合條件,分別是T1(﹣,)或T2(,)或T3(,)或T4(,)或T5(,).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正方形ABCD,P為射線AB上的一點,以BP為邊作正方形BPEF,使點F在線段CB的延長線上,連接EA、EC.
(1)如圖1,若點P在線段AB的延長線上,求證:EA=EC;
(2)若點P在線段AB上,如圖2,當(dāng)點P為AB的中點時,判斷△ACE的形狀,并說明理由;
(3)在(1)的條件下,將正方形ABCD固定,正方形BPEF繞點B旋轉(zhuǎn)一周,設(shè)AB=4,BP=a,若在旋轉(zhuǎn)過程中△ACE面積的最小值為4,請直接寫出a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線l:y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點,拋物線y=ax2﹣2ax+a+4(a<0)經(jīng)過點B.
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)已知點M是拋物線上的一個動點,并且點M在第一象限內(nèi),連接AM、BM,設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m,△ABM的面積為S,求S與m的函數(shù)表達(dá)式,并求出S的最大值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)S取得最大值時,動點M相應(yīng)的位置記為點M′.寫出點M′的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等邊△ABC的邊長是2,D、E分別為AB、AC的中點,延長BC至點F,使CF=BC,連接CD和EF.
(1)求證:DE=CF;
(2)求EF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)為了解學(xué)生每周的課外閱讀時間情況,隨機(jī)抽查了部分學(xué)生,對學(xué)生每周的課外閱讀時間x(單位:小時)進(jìn)行分組整理,并制成如圖所示的不完整的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖.
(1)在扇形統(tǒng)計圖中,m= ,E組所對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)為 ;
(2)E組有3名女同學(xué)和2名男同學(xué),學(xué)校準(zhǔn)備從E組抽2名同學(xué)去參加全市舉行的經(jīng)典誦讀比賽,求抽到1名女同學(xué)和1名男同學(xué)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了了解某校學(xué)生對以下四個電視節(jié)目:最強(qiáng)大腦、中國詩詞大會、朗讀者、出彩中國人的喜愛情況,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,要求每名學(xué)生選出并且只能選出一個自己最喜愛的節(jié)目,根據(jù)調(diào)查結(jié)果,繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
請你根據(jù)圖中所提供的信息,完成下列問題:
本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為______;
在扇形統(tǒng)計圖中,A部分所占圓心角的度數(shù)為______;
請將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整;
若該校共有3000名學(xué)生,估計該校最喜愛中國詩詞大會的學(xué)生有多少名.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是一座古拱橋的截面圖,拱橋橋洞的上沿是拋物線形狀,當(dāng)水面的寬度為10m時,橋洞與水面
的最大距離是5m.
(1)經(jīng)過討論,同學(xué)們得出三種建立平面直角坐標(biāo)系的方案(如下圖)
你選擇的方案是_____(填方案一,方案二,或方案三),則B點坐標(biāo)是______,求出你所選方案中的拋物線的表達(dá)式;
(2)因為上游水庫泄洪,水面寬度變?yōu)?/span>6m,求水面上漲的高度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,點E在BC邊上.AE=AB,將線段AC繞點A旋轉(zhuǎn)到AF的位置.使得∠CAF=∠BAE.連接EF,EF與AC交于點G.
(1)求證:EF =BC;
(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料:
如圖1.在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c,可以得到:
證明:過點A作AD⊥BC,垂足為D.
在Rt△ABD中,
∴
∴
同理:
∴
(1)通過上述材料證明:
(2)運(yùn)用(1)中的結(jié)論解決問題:
如圖2,在中,,求AC的長度.
(3)如圖3,為了開發(fā)公路旁的城市荒地,測量人員選擇A、B、C三個測量點,在B點測得A在北偏東75°方向上,沿筆直公路向正東方向行駛18km到達(dá)C點,測得A在北偏西45°方向上,根據(jù)以上信息,求A、B、C三點圍成的三角形的面積.
(本題參考數(shù)值:sin15°≈0.3,sin120°≈0.9,≈1.4,結(jié)果取整數(shù))
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