【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的兩邊分別在x軸、y軸上,D是對(duì)角線的交點(diǎn),若反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,且與矩形OABC的兩邊AB,BC分別交于點(diǎn)E,F.
(1)若D的坐標(biāo)為(4,2)
①則OA的長(zhǎng)是 ,AB的長(zhǎng)是 ;
②請(qǐng)判斷EF是否與AC平行,井說(shuō)明理由;
③在x軸上是否存在一點(diǎn)P.使PD+PE的值最小,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及此時(shí)PD+PE的長(zhǎng);若不存在.請(qǐng)說(shuō)明理由.
(2)若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,n),且m>0,n>0,求的值.
【答案】(1)①8;4;②EF∥AC,理由見(jiàn)解析;③當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,0)時(shí),PD+PE的值最小,最小值為5.
(2)=.
【解析】
(1)①根據(jù)矩形的性質(zhì)和點(diǎn)O、D的坐標(biāo)即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo),從而求出OA和AB的長(zhǎng);
②將點(diǎn)D坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中即可求出反比例函數(shù)的解析式,從而求出E、F兩點(diǎn)坐標(biāo),然后根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)邊成比例且對(duì)應(yīng)夾角相等的兩個(gè)三角形相似,證出:△ABC∽△EBF,從而得出∠BCA=∠BFE,根據(jù)平行線的判定即可證出EF∥AC;
③作點(diǎn)E關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)E′,連接DE′交x軸于點(diǎn)P,此時(shí)PD+PE的值最小,根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)之間的距離公式即可求出此時(shí)的DE′,然后利用待定系數(shù)法求出直線DE′的解析式,從而求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo);
(2)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,n),與(1)①同理可得:點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2m,2n),然后與(1)②中同理可證:△ABC∽△EBF,從而求出.
解:(1)①∵四邊形OABC是矩形,
∴D為OB的中點(diǎn)
∵點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,2),
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,4),
∴OA=8,AB=4.
故答案為:8;4.
②EF∥AC,理由如下:
∵反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(4,2),
∴k=4×2=8.
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,4),BC∥x軸,AB∥y軸,
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,4),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(8,1),
∴BF=6,BE=3,
∴=,=,
∴=.
∵∠ABC=∠EBF,
∴△ABC∽△EBF,
∴∠BCA=∠BFE,
∴EF∥AC.
③作點(diǎn)E關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)E′,連接DE′交x軸于點(diǎn)P,根據(jù)兩點(diǎn)之間,線段最短,此時(shí)PD+PE的值最小,并且PD+PE=PD+P E′= DE′,如圖所示.
∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為(8,1),
∴點(diǎn)E′的坐標(biāo)為(8,﹣1),
∴根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)之間的距離公式得:DE′==5.
設(shè)直線DE′的解析式為y=ax+b(a≠0),
將D(4,2),E′(8,﹣1)代入y=ax+b,得:,
解得:,
∴直線DE′的解析式為y=﹣x+5.
當(dāng)y=0時(shí),﹣x+5=0,
解得:x=,
∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,0)時(shí),PD+PE的值最小,最小值為5.
(2)∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,n),
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2m,2n).
∵反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(m,n),
∴k=mn,
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(m,2n),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2m,n),
∴BF=m,BE=n,
∴=,=,
∴=.
又∵∠ABC=∠EBF,
∴△ABC∽△EBF,
∴==.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,將△ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△A'B'C',此時(shí)點(diǎn)A'恰好在AB邊上,則點(diǎn)B'與點(diǎn)B之間的距離為( 。
A. 12 B. 6 C. 6 D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,4)、B(5,0)和原點(diǎn)O.P為二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為D(m,0),并與直線OA交于點(diǎn)C.
(1)求出二次函數(shù)的解析式;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線OA的上方時(shí),求線段PC的最大值;
(3)當(dāng)m>0時(shí),探索是否存在點(diǎn)P,使得△PCO為等腰三角形,如果存在,求出P的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格,線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<180°)后與⊙O相切,則α的值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我們規(guī)定:等腰三角形的底角與頂角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“特征值”.如圖,△ABC是以A為頂點(diǎn)的“特征值”為的等腰三角形,在△ABC外有一點(diǎn)D,若∠ADB=∠ABC,AD=4,BD=3,則∠ABC=_____度,CD的長(zhǎng)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,以點(diǎn)B為圓心,BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交線段AB于點(diǎn)D;以點(diǎn)A為圓心,AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交線段AC于點(diǎn)E,連結(jié)CD.
(1)若∠A=28°,求∠ACD的度數(shù).
(2)設(shè)BC=a,AC=b.
①線段AD的長(zhǎng)是方程x2+2ax﹣b2=0的一個(gè)根嗎?說(shuō)明理由.
②若AD=EC,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,∠B=60°,P是BC邊上一點(diǎn),將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P',連接CP'.
(1)畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后示意圖;
(2)連接PP',若∠BAP=20°,求∠PP'C的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC的內(nèi)接三角形,P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),∠PAC=∠B,AD為⊙O的直徑,過(guò)C作CG⊥AD于E,交AB于F,交⊙O于G.
(1)判斷直線PA與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)求證:AG2=AF·AB;
(3)求若⊙O的直徑為10,AC=2,AB=4,求△AFG的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,分別以AC,BC為邊作等邊△ACD和等邊△BCE.設(shè)△ACD,△BCE,△ABC的面積分別是S1,S2,S3,現(xiàn)有如下結(jié)論:
①S1∶S2=AC2∶BC2;②連接AE,BD,則△BCD≌△ECA;③若AC⊥BC,則S1·S2=S23.
其中結(jié)論正確的序號(hào)是__________.
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