【題目】已知直線y=kx+b經(jīng)過點A(0,2),B(﹣4,0)和拋物線y=x2.
(1)求直線的解析式;
(2)將拋物線y=x2沿著x軸向右平移,平移后的拋物線對稱軸左側(cè)部分與y軸交于點C,對稱軸右側(cè)部分拋物線與直線y=kx+b交于點D,連接CD,當(dāng)CD∥x軸時,求平移后得到的拋物線的解析式;
(3)在(2)的條件下,平移后得到的拋物線的對稱軸與x軸交于點E,P為該拋物線上一動點,過點P作拋物線對稱軸的垂線,垂足為Q,是否存在這樣的點P,使以點E,P,Q為頂點的三角形與△AOB相似?若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x+2;(2)y=x2﹣4x+4;(3)(,),(,),(0,4)或(4,4).
【解析】
(1)根據(jù)點A,B的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式;
(2)設(shè)平移后拋物線的解析式為y=(x﹣m)2(m>0),則平移后拋物線的對稱軸為直線x=m,點C的坐標(biāo)為(0,m2),由CD∥x軸,可得出點C,D關(guān)于直線x=m對稱,進而可得出點D的坐標(biāo),再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可得出關(guān)于m的一元二次方程,解之取其正值即可得出結(jié)論;
(3)設(shè)點P的坐標(biāo)為(a,a2﹣4a+4),則PQ=|a﹣2|,EQ=a2﹣4a+4,由∠PQE=90°可得出△EQP∽△AOB或△PQE∽△AOB,①當(dāng)△EQP∽△AOB時,利用相似三角形的性質(zhì)可得出關(guān)于a的方程,解之即可得出a值,將其代入點P的坐標(biāo)即可得出結(jié)論;②當(dāng)△PQE∽△AOB時,利用相似三角形的性質(zhì)可得出關(guān)于a的方程,解之即可得出a值,將其代入點P的坐標(biāo)即可得出結(jié)論.綜上,此題得解.
解:(1)將A(0,2),B(﹣4,0)代入y=kx+b,得:
,解得:,
∴直線AB的解析式為y=x+2.
(2)如圖1,設(shè)平移后拋物線的解析式為y=(x﹣m)2(m>0),則平移后拋物線的對稱軸為直線x=m,點C的坐標(biāo)為(0,m2).
∵CD∥x軸,
∴點C,D關(guān)于直線x=m對稱,
∴點D的坐標(biāo)為(2m,m2).
∵點D在直線y=x+2上,
∴m2=×2m+2,
解得:m1=﹣1(舍去),m2=2,
∴平移后拋物線的解析式為y=(x﹣2)2,即y=x2﹣4x+4.
(3)存在這樣的點P,使以點E,P,Q為頂點的三角形與△AOB相似.
設(shè)點P的坐標(biāo)為(a,a2﹣4a+4),則PQ=|a﹣2|,EQ=a2﹣4a+4.
∵∠PQE=90°,
∴分兩種情況考慮,如圖2所示.
化簡,得:|a﹣2|=,
解得:a1=,a2=,
∴點P的坐標(biāo)為(,)或(,);
②當(dāng)△PQE∽△AOB時,,即,
化簡,得:|a﹣2|=2,
解得:a1=0,a2=4,
∴點P的坐標(biāo)為(0,4)或(4,4).
綜上所述:存在這樣的點P,使以點E,P,Q為頂點的三角形與△AOB相似,點P的坐標(biāo)為(,),(,),(0,4)或(4,4).
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【題目】如圖,拋物線與軸交于,兩點,與軸交于點,點與點關(guān)于軸對稱.
(1)求點,,的坐標(biāo);
(2)求直線的解析式;
(3)在直線下方的拋物線上是否存在一點,使的面積最大?若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至矩形AEFG,點D的旋轉(zhuǎn)路徑為,若AB=2,BC=4,則陰影部分的面積為( 。
A.B.C.D.
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【題目】拋物線y=x2+bx+3的對稱軸為直線x=1.若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t=0(t為實數(shù))在﹣2<x<3的范圍內(nèi)有實數(shù)根,則t的取值范圍是( 。
A.12<t≤3B.12<t<4C.12<t≤4D.12<t<3
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【題目】給定一個函數(shù),如果這個函數(shù)的圖象上存在一個點,它的橫、縱坐標(biāo)相等,那么這個點叫做該函數(shù)的不變點.
(1)一次函數(shù)的不變點的坐標(biāo)為______.
(2)二次函數(shù)的兩個不變點分別為點(在的左側(cè)),將點繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點,求點的坐標(biāo).
(3)已知二次函數(shù)的兩個不變點的坐標(biāo)為.
①求的值;
②如圖,設(shè)拋物線與線段圍成的封閉圖形記作.點為一次函數(shù)的不變點,以線段為邊向下作正方形.當(dāng)兩點中只有一個點在封閉圖形的內(nèi)部(不包含邊界)時,求出的取值范圍.
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【題目】如我們把函數(shù)沿軸翻折得到函數(shù),函數(shù)與函數(shù)的圖象合起來組成函數(shù)的圖象.若直線與函數(shù)的圖象剛好有兩個交點,則滿足條件的的值可以為_______________(填出一個合理的值即可).
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【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點A(﹣1,0),與y軸的交點B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之間(不包括這兩點),對稱軸為直線x=1.下列結(jié)論:①abc>0;②4a+2b+c>0;③<a<;④b>c.其中含所有正確結(jié)論的選項是( )
A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④
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【題目】如圖,直線與軸、軸相交于、兩點,拋物線過點、,且與軸另一個交點為,以、為邊作矩形,交拋物線于點.
(1)求拋物線的解析式以及點的坐標(biāo);
(2)已知直線交于點,交于點,交于點,交拋物線(上方部分)于點,請用含的代數(shù)式表示的長;
(3)在(2)的條件下,連接,若和相似,求的值.
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【題目】如圖,正方形的邊長為,點在邊上,連接,過點作,與的延長線相交于點,連接,與邊相交于點,與對角線相交于點.若,則的長為( )
A.B.C.D.
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