【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+cx軸于A(﹣3,0),B4,0)兩點,與y軸交于點C,連接AC,BC

1)求此拋物線的表達式;

2)求過B、C兩點的直線的函數(shù)表達式;

3)點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點.過點PPMx軸,垂足為點M,PMBC于點Q.試探究點P在運動過程中,是否存在這樣的點Q,使得以A,CQ為頂點的三角形是等腰三角形.若存在,請求出此時點P的坐標,若不存在,請說明理由;

【答案】(1)y=﹣x2+x+4;(2y=﹣x+4;(3)存在,(1,4)或(,).

【解析】

1)將點A,B的坐標代入y=﹣x2+bx+c即可;

2)先求出點C的坐標為(0,4),設直線BC的解析式為ykx+4,再將點B40)代入ykx+4即可;

3)先判斷存在點P,求出AC,BC的長及∠OCB=∠OBC45°,設點P坐標為(m,﹣m2+m+4),則點Qm,﹣m+4),用含m的代數(shù)式表示出QM,AM的長,然后分ACAQ時,ACCQ時,CQAQ時三種情況進行討論,列出關(guān)于m的方程,求出m的值,即可寫出點P的坐標.

1)將點A(﹣3,0),B4,0)代入y=﹣x2+bx+c

得,

解得,

∴此拋物線的表達式為y=﹣x2+x+4

2)在y=﹣x2+x+4中,

x0時,y4,

C0,4),

設直線BC的解析式為ykx+4

將點B4,0)代入ykx+4,

得,k=﹣1

∴直線BC的解析式為y=﹣x+4;

3)存在,理由如下:

A(﹣30),B4,0),C0,4),

OA3OCOB4,

AC5BC4,∠OCB=∠OBC45°,

設點P坐標為(m,﹣m2+m+4),則點Qm,﹣m+4),

QM=﹣m+4AMm+3,

ACAQ時,則ACAQ5,

m+32+(﹣m+4225,

解得:m11m20(舍去),

m1時,﹣m2+m+44,

則點P坐標為(14);

ACCQ時,CQAC5,

如圖,過點QQDy軸于點D,

QDCDOMm

則有2m252,

解得m1,m2=﹣(舍去);

m時,﹣m2+m+4,

則點P坐標為();

CQAQ時,(m+32+(﹣m+422m2,

解得:m(舍去);

故點P的坐標為(1,4)或().

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A.3B.5C.10D.15

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【題目】下面是小華同學設計的作三角形的高線的尺規(guī)作圖的過程.

已知:如圖1,ABC

求作:AB邊上的高線.

作法:如圖2,

①分別以A,C為圓心,大于

為半徑作弧,兩弧分別交于點DE;

作直線DE,交AC于點F

以點F為圓心,FA長為半徑作圓,交AB的延長線于點M;

連接CM

CM 為所求AB邊上的高線.

根據(jù)上述作圖過程,回答問題:

1)用直尺和圓規(guī),補全圖2中的圖形;

2)完成下面的證明:

證明:連接DA,DC,EA,EC,

∵由作圖可知DA=DC =EA=EC

DE是線段AC的垂直平分線.

FA=FC

AC是⊙F的直徑.

∴∠AMC=______°___________________________________)(填依據(jù)),

CMAB

CM就是AB邊上的高線.

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2)如圖2,當點E在線段AD的延長線上時,(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請證明你的結(jié)論,若不成立,請寫出你的結(jié)論,并證明你的結(jié)論;

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