【題目】如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,點D在上,點E在弦AB上(E不與A重合),且四邊形BDCE為菱形.
(1)求證:AC=CE;
(2)求證:BC2﹣AC2=ABAC;
(3)已知⊙O的半徑為3.
①若=,求BC的長;
②當為何值時,ABAC的值最大?
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)①BC=4;②
【解析】(1)由菱形知∠D=∠BEC,由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC,據(jù)此得證;
(2)以點C為圓心,CE長為半徑作⊙C,與BC交于點F,于BC延長線交于點G,則CF=CG=AC=CE=CD,證△BEF∽△BGA得,即BFBG=BEAB,將BF=BC-CF=BC-AC、BG=BC+CG=BC+AC代入可得;
(3)①設AB=5k、AC=3k,由BC2-AC2=ABAC知BC=2k,連接ED交BC于點M,Rt△DMC中由DC=AC=3k、MC=BC=k求得DM==k,可知OM=OD-DM=3-k,在Rt△COM中,由OM2+MC2=OC2可得答案.②設OM=d,則MD=3-d,MC2=OC2-OM2=9-d2,繼而知BC2=(2MC)2=36-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=(3-d)2+9-d2,由(2)得ABAC=BC2-AC2,據(jù)此得出關于d的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.
(1)∵四邊形EBDC為菱形,
∴∠D=∠BEC,
∵四邊形ABDC是圓的內(nèi)接四邊形,
∴∠A+∠D=180°,
又∠BEC+∠AEC=180°,
∴∠A=∠AEC,
∴AC=CE;
(2)以點C為圓心,CE長為半徑作⊙C,與BC交于點F,于BC延長線交于點G,則CF=CG,
由(1)知AC=CE=CD,
∴CF=CG=AC,
∵四邊形AEFG是⊙C的內(nèi)接四邊形,
∴∠G+∠AEF=180°,
又∵∠AEF+∠BEF=180°,
∴∠G=∠BEF,
∵∠EBF=∠GBA,
∴△BEF∽△BGA,
∴,即BFBG=BEAB,
∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC,BE=CE=AC,
∴(BC﹣AC)(BC+AC)=ABAC,即BC2﹣AC2=ABAC;
(3)設AB=5k、AC=3k,
∵BC2﹣AC2=ABAC,
∴BC=2k,
連接ED交BC于點M,
∵四邊形BDCE是菱形,
∴DE垂直平分BC,
則點E、O、M、D共線,
在Rt△DMC中,DC=AC=3k,MC=BC=k,
∴DM=,
∴OM=OD﹣DM=3﹣k,
在Rt△COM中,由OM2+MC2=OC2得(3﹣k)2+(k)2=32,
解得:k=或k=0(舍),
∴BC=2k=4;
②設OM=d,則MD=3﹣d,MC2=OC2﹣OM2=9﹣d2,
∴BC2=(2MC)2=36﹣4d2,
AC2=DC2=DM2+CM2=(3﹣d)2+9﹣d2,
由(2)得ABAC=BC2﹣AC2
=﹣4d2+6d+18
=﹣4(d﹣)2+,
∴當d=,即OM=時,ABAC最大,最大值為,
∴DC2=,
∴AC=DC=,
∴AB=,此時.
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【題目】尺規(guī)作圖要求:Ⅰ、過直線外一點作這條直線的垂線;Ⅱ、作線段的垂直平分線;
Ⅲ、過直線上一點作這條直線的垂線;Ⅳ、作角的平分線.
如圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖:
則正確的配對是( 。
A. ①﹣Ⅳ,②﹣Ⅱ,③﹣Ⅰ,④﹣Ⅲ B. ①﹣Ⅳ,②﹣Ⅲ,③﹣Ⅱ,④﹣Ⅰ
C. ①﹣Ⅱ,②﹣Ⅳ,③﹣Ⅲ,④﹣Ⅰ D. ①﹣Ⅳ,②﹣Ⅰ,③﹣Ⅱ,④﹣Ⅲ
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【題目】試根據(jù)圖中信息,解答下列問題.
(1)一次性購買6根跳繩需_____元,一次性購買12根跳繩需______元;
(2)小紅比小明多買2根,付款時小紅反而比小明少5元,你認為有這種可能嗎?若有,請求出小紅購買跳繩的根數(shù);若沒有,請說明理由.
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【題目】圖1是一輛吊車的實物圖,圖2是其工作示意圖,AC是可以伸縮的起重臂,其轉(zhuǎn)動點A離地面BD的高度AH為3.4m.當起重臂AC長度為9m,張角∠HAC為118°時,求操作平臺C離地面的高度(結果保留小數(shù)點后一位:參考數(shù)據(jù):sin28°≈0.47,cos28°≈0.88,tan28°≈0.53)
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【題目】在△ABC中,高AD和BE所在的直線交于點H,且BH=AC,則∠ABC等于( )
A. 45° B. 120° C. 45°或135° D. 45°或120°
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【題目】已知:⊙O是正方形ABCD的外接圓,點E在上,連接BE、DE,點F在上連接BF、DF,BF與DE、DA分別交于點G、點H,且DA平分∠EDF.
(1)如圖1,求證:∠CBE=∠DHG;
(2)如圖2,在線段AH上取一點N(點N不與點A、點H重合),連接BN交DE于點L,過點H作HK∥BN交DE于點K,過點E作EP⊥BN,垂足為點P,當BP=HF時,求證:BE=HK;
(3)如圖3,在(2)的條件下,當3HF=2DF時,延長EP交⊙O于點R,連接BR,若△BER的面積與△DHK的面積的差為,求線段BR的長.
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【題目】如圖,中,,,的斜邊在x軸的正半軸上,點A與原點重合,隨著頂點A由O點出發(fā)沿y軸的正半軸方向滑動,點B也沿著x軸向點O滑動,直到與點O重合時運動結束在這個運動過程中.
中點P經(jīng)過的路徑長______.
點C運動的路徑長是______.
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【題目】如圖,AD∥BC,∠BAC=70°,DE⊥AC于點E,∠D=20°.
(1)求∠B的度數(shù),并判斷△ABC的形狀;
(2)若延長線段DE恰好過點B,試說明DB是∠ABC的平分線.
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【題目】如圖1,在△ABC中,∠BAC=75°,∠ACB=35°,∠ABC的平分線BD交邊AC于點D.
(1)求證:△BCD為等腰三角形;
(2)若∠BAC的平分線AE交邊BC于點E,如圖2,求證:BD+AD=AB+BE;
(3)若∠BAC外角的平分線AE交CB延長線于點E,請你探究(2)中的結論是否仍然成立?直接寫出正確的結論.
圖1 圖2
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