Question

【題目】如圖所示，AB是⊙O直徑，OD⊥弦BC于點F，且交⊙O于點E，若∠AEC=∠ODB．
（1）判斷直線BD和⊙O的位置關系，并給出證明；
（2）當AB=10，BC=8時，求BD的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線BD和⊙O相切

證明：∵∠AEC=∠ODB，∠AEC=∠ABC

∴∠ABC=∠ODB

∵OD⊥BC

∴∠DBC+∠ODB=90°

∴∠DBC+∠ABC=90°

∴∠DBO=90°

∴直線BD和⊙O相切

（2）解：連接AC

∵AB是直徑

∴∠ACB=90°

在Rt△ABC中，AB=10，BC=8

∴

∵直徑AB=10

∴OB=5．

由（1），BD和⊙O相切

∴∠OBD=90°

∴∠ACB=∠OBD=90°

由（1）得∠ABC=∠ODB，

∴△ABC∽△ODB

∴

∴ ，解得BD= ．

【解析】（1）因為同弧所對的圓周角相等，所以有∠AEC=∠ABC，又∠AEC=∠ODB，所以∠ABC=∠ODB，OD⊥弦BC，即∠ABC+∠BOD=90°，則有∠ODB+∠BOD=90°，即BD垂直于AB，所以BD為切線．（2）連接AC，由于AB為直徑，所以AC和BC垂直，又由（1）知∠ABC=∠ODB，所以有△ACB∽△OBD，而AC可由勾股定理求出，所以根據對應線段成比例求出BD．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和圓周角定理的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半才能正確解答此題．