Question

【題目】如圖1，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，點(diǎn)P在邊AD上運(yùn)動(dòng)，以P為圓心，PA為半徑的⊙P與對(duì)角線AC交于A，E兩點(diǎn)．
（1）如圖2，當(dāng)⊙P與邊CD相切于點(diǎn)F時(shí)，求AP的長(zhǎng)；
（2）不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)⊙P與邊CD相切時(shí)，⊙P與平行四邊形ABCD的邊有三個(gè)公共點(diǎn)，隨著AP的變化，⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)也在變化，若公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4，直接寫(xiě)出相對(duì)應(yīng)的AP的值的取值范圍____．

Answer 1

【答案】（1）；（2）＜AP＜或AP=5．

【解析】

（1）連接PF，則PF⊥CD，由AB⊥AC和四邊形ABCD是平行四邊形，得PF∥AC，可證明△DPF∽△DAC，列比例式可得AP的長(zhǎng)；
（2）有兩種情況：①與邊AD、CD分別有兩個(gè)公共點(diǎn)；②⊙P過(guò)點(diǎn)A、C、D三點(diǎn)．

（1）如圖2所示，連接PF，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==8，

設(shè)AP=x，則DP=10-x，PF=x，
∵⊙P與邊CD相切于點(diǎn)F，
∴PF⊥CD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∵AB⊥AC，
∴AC⊥CD，
∴AC∥PF，
∴△DPF∽△DAC，
∴

∴x= ；
（2）當(dāng)⊙P與BC相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為G，如圖3，

SABCD= ×6×8×2=10PG，
PG=，
①當(dāng)⊙P與邊AD、CD分別有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，＜AP＜，即此時(shí)⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4，
②⊙P過(guò)點(diǎn)A、C、D三點(diǎn)．，如圖4，⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4，
此時(shí)AP=5，
綜上所述，AP的值的取值范圍是：＜AP＜或AP=5．
故答案為：＜AP＜或AP=5．