【題目】如圖,△ACB和△DCE均為等腰三角形,點A,D,E在同一直線上,連接BE.

(1)如圖1,若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°

①求證:AD=BE;

②求∠AEB的度數(shù).

(2)如圖2,若∠ACB=∠DCE=120°,CM為△DCE中DE邊上的高,BN為△ABE中AE邊上的高,試證明:AE=CM+BN.

【答案】(1)證明見解析;80°;(2)證明見解析

【解析】

試題分析:(1)①通過角的計算找出∠ACD=∠BCE,再結(jié)合△ACB和△DCE均為等腰三角形可得出“AC=BC,DC=EC”,利用全等三角形的判定(SAS)即可證出△ACD≌△BCE,由此即可得出結(jié)論AD=BE;

②結(jié)合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC,再通過角的計算即可算出∠AEB的度數(shù);

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合頂角的度數(shù),即可得出底角的度數(shù),利用(1)的結(jié)論,通過解直角三角形即可求出線段AD、DE的長度,二者相加即可證出結(jié)論.

試題解析:(1)①證明:∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°,∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°.

∵∠ACB=∠ACD+∠DCB,∠DCE=∠DCB+∠BCE,∴∠ACD=∠BCE.

∵△ACB和△DCE均為等腰三角形,∴AC=BC,DC=EC.

在△ACD和△BCE中,AC=BC,ACD=BCE,DC=EC,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE.

②解:∵△ACD≌△BCE,∴∠ADC=∠BEC.

∵點A,D,E在同一直線上,且∠CDE=50°,∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°,∴∠BEC=130°.

∵∠BEC=∠CED+∠AEB,且∠CED=50°,∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°.

(2)證明:∵△ACB和△DCE均為等腰三角形,且∠ACB=∠DCE=120°,∴∠CDM=∠CEM=×(180°﹣120°)=30°.

∵CM⊥DE,∴∠CMD=90°,DM=EM.

在Rt△CMD中,∠CMD=90°,∠CDM=30°,∴DE=2DM=2×=CM.

∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°,∠BEC=∠CEM+∠AEB,∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°,∴∠BEN=180°﹣120°=60°.

在Rt△BNE中,∠BNE=90°,∠BEN=60°,∴BE==BN.

∵AD=BE,AE=AD+DE,∴AE=BE+DE=CM+BN.

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