【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點PAC邊上的一點,將線段AP繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)(點P對應(yīng)點P′),當AP旋轉(zhuǎn)至AP′⊥AB時,點B、PP′恰好在同一直線上,此時作P′E⊥AC于點E

1)求證:∠CBP=∠ABP

2)求證:AE=CP;

3)當,BP′=時,求線段AB的長.

【答案】解:(1)證明:∵AP′AP旋轉(zhuǎn)得到,∴AP=AP′。∴∠APP′=∠AP′P

∵∠C=90°,AP′⊥AB,∴∠CBP+∠BPC=90°∠ABP+∠AP′P=90°。

∵∠BPC=∠APP′(對頂角相等)。∴∠CBP=∠ABP。

2)證明:如圖,過點PPD⊥ABD,

∵∠CBP=∠ABP,∠C=90°∴CP=DP。

∵P′E⊥AC∴∠EAP′+∠AP′E=90°。

∵∠PAD+∠EAP′=90°,

∴∠PAD=∠AP′E。

△APD△P′AE中,

,

∴△APD≌△P′AEAAS)。∴AE=DP。∴AE=CP。

3,設(shè)CP=3k,PE=2k,則AE=CP=3k,AP′=AP=3k+2k=5k

Rt△AEP′中,

∵∠C=90°,P′E⊥AC∴∠CBP+∠BPC=90°,∠EP′P+∠P′PE=90°。

∵∠BPC=∠EPP′(對頂角相等),∴∠CBP=∠P′PE。

∵∠BAP′=∠P′EP=90°,∴△ABP′∽△EPP′。

。即。。

Rt△ABP′中,,即

解得AB=10

【解析】

試題:(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP=AP′,根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠APP′=∠AP′P,再根據(jù)等角的余角相等證明即可;

2)過點PPD⊥ABD,根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CP=DP,然后求出∠PAD=∠AP′E,利用角角邊證明△APD△P′AE全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=DP,從而得證;

3)設(shè)CP=3k,PE=2k,表示出AE=CP=3kAP′=AP=5k,然后利用勾股定理列式求出P′E=4k,再求出△ABP′△EPP′相似,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出P′A=AB,然后在Rt△ABP′中,利用勾股定理列式求解即可.

試題解析:(1)證明:∵AP′AP旋轉(zhuǎn)得到,

∴AP=AP′,

∴∠APP′=∠AP′P,

∵∠C=90°AP′⊥AB,

∴∠CBP+∠BPC=90°∠ABP+∠AP′P=90°,

∵∠BPC=∠APP′

∴∠CBP=∠ABP;

2)證明:如圖,過點PPD⊥ABD,

∵∠CBP=∠ABP,∠C=90°,

∴CP=DP,

∵P′E⊥AC

∴∠EAP′+∠AP′E=90°,

∵∠PAD+∠EAP′=90°,

∴∠PAD=∠AP′E,

△APD△P′AE中,

,

∴△APD≌△P′AEAAS),

∴AE=DP,

∴AE=CP;

3)解:,

設(shè)CP=3k,PE=2k

AE=CP=3k,AP′=AP=3k+2k=5k

Rt△AEP′中,P′E==4k

∵∠C=90°,P′E⊥AC

∴∠CBP+∠BPC=90°,∠EP′P+∠EPP′=90°

∵∠BPC=∠EPP′,

∴∠CBP=∠EP′P

∵∠CBP=∠ABP,∴∠ABP=∠EP′P

∵∠BAP′=∠P′EP=90°,

∴△ABP′∽△EPP′,

,

,

解得P′A=AB

Rt△ABP′中,AB2+P′A2=BP′2

AB2+AB2=52,

解得AB=10

練習冊系列答案
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A. B. C. D.

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