Question

已知拋物線y=-

2

3

x2+bx+c與x軸交于不同的兩點A（x₁，0）和B（x₂，0），與y軸交于點C，且x₁，x₂是方程x²-2x-3=0的兩個根（x₁＜x₂）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點A作AD∥CB交拋物線于點D，求四邊形ACBD的面積；
（3）如果P是線段AC上的一個動點（不與點A、C重合），過點P作平行于x軸的直線l交BC于點Q，那么在x軸上是否存在點R，使得△PQR為等腰直角三角形？若存在，求出點R的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解方程x²-2x-3=0，
得x₁=-1，x₂=3．
∴點A（-1，0），點B（3，0）．
∴

- 2 3 ×(-1)2+b•(-1)+c=0 - 2 3 ×32+b•3+c=0

，
解，得

b= 4 3 c=2

，
∴拋物線的解析式為y=-

2

3

x²+

4

3

x+2．

（2）∵拋物線與y軸交于點C．
∴點C的坐標(biāo)為（0，2）．
又點B（3，0），可求直線BC的解析式為y=-

2

3

x+2．
∵AD∥CB，
∴設(shè)直線AD的解析式為y=-

2

3

x+b′．
又點A（-1，0），
∴b′=-

2

3

，直線AD的解析式為y=-

2

3

x-

2

3

．
解

y=- 2 3 x2+ 4 3 x+2 y=- 2 3 x- 2 3

，
得

x1=-1 y1=0

，

x2=4 y2=- 10 3

，
∴點D的坐標(biāo)為（4，-

10

3

）．
過點D作DD’⊥x軸于D’，DD’=

10

3

，則又AB=4．
∴四邊形ACBD的面積S=

1

2

AB•OC+

1

2

AB•DD’=10

2

3

．

（3）假設(shè)存在滿足條件的點R，設(shè)直線l交y軸于點E（0，m），
∵點P不與點A、C重合，
∴0＜m＜2，
∵點A（-1，0），點C（0，2），
∴可求直線AC的解析式為y=2x+2，
∴點P（

1

2

m-1，m）．
∵直線BC的解析式為y=-

2

3

x+2，
∴點Q（-

3

2

m+3，m）．
∴PQ=-2m+4．在△PQR中，
①當(dāng)RQ為底時，過點P作PR₁⊥x軸于點R₁，則∠R₁PQ=90°，PQ=PR₁=m．
∴-2m+4=m，
解得m=

4

3

，
∴點P（-

1

3

，

4

3

），
∴點R₁坐標(biāo)為（-

1

3

，0）．
②當(dāng)RP為底時，過點Q作QR₂⊥x軸于點R₂，
同理可求，點R₂坐標(biāo)為（1，0）．
③當(dāng)PQ為底時，取PQ中點S，過S作SR₃⊥PQ交x軸于點R₃，
則PR₃=QR₃，∠PR₃Q=90度．
∴PQ=2R₃S=2m．
∴-2m+4=2m，
解，得m=1，
∴點P（-

1

2

，1），點Q（

3

2

，1），可求點R₃坐標(biāo)為（

1

2

，0）．
經(jīng)檢驗，點R₁，點R₂，點R₃都滿足條件．
綜上所述，存在滿足條件的點R，它們分別是R₁（-

1

3

，0），R₂（1，0）和點R₃（

1

2

，0）．