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【題目】有一個n位自然數能被x0整除,依次輪換個位數字得到的新數能被x0+1整除,再依次輪換個位數字得到的新數能被x0+2整除,按此規(guī)律輪換后, 能被x0+3整除,…,能被x0+n﹣1整除,則稱這個n位數是x0的一個“輪換數”.

例如:60能被5整除,06能被6整除,則稱兩位數60是5的一個“輪換數”;

再如:324能被2整除,243能被3整除,432能被4整除,則稱三位數324是2個一個“輪換數”.

(1)若一個兩位自然數的個位數字是十位數字的2倍,求證這個兩位自然數一定是“輪換數”.

(2)若三位自然數是3的一個“輪換數”,其中a=2,求這個三位自然數

【答案】(1)見解析;(2) 201,207,255

【解析】

試題(1)先設出兩位自然數的十位數字,表示出這個兩位自然數,和輪換兩位自然數即可;
(2)先表示出三位自然數和輪換三位自然數,再根據能被5整除,得出b的可能值,進而用4整除,得出c的可能值,最后用能被3整除即可.

試題解析:

1)設兩位自然數的十位數字為x,則個位數字為2x,

∴這個兩位自然數是10x+2x=12x,

∴這個兩位自然數是12x能被6整除,

∵依次輪換個位數字得到的兩位自然數為10×2x+x=21x

∴輪換個位數字得到的兩位自然數為21x能被7整除,

∴一個兩位自然數的個位數字是十位數字的2倍,這個兩位自然數一定是輪換數”.

(2)∵三位自然數3的一個輪換數,且a=2,

100a+10b+c能被3整除,

即:10b+c+200能被3整除,

第一次輪換得到的三位自然數是100b+10c+a能被4整除,

100b+10c+2能被4整除,

第二次輪換得到的三位自然數是100c+10a+b能被5整除,

100c+b+20能被5整除,

100c+b+20能被5整除,

b+20的個位數字不是0,便是5,

b=0b=5,

b=0時,

100b+10c+2能被4整除,

10c+2能被4整除,

c只能是1,3,5,7,9;

∴這個三位自然數可能是為201,203,205,207,209,

203,205,209不能被3整除,

∴這個三位自然數為201,207,

b=5時,∵100b+10c+2能被4整除,

10c+502能被4整除,

c只能是1,5,7,9;

∴這個三位自然數可能是為251,255,257,259,

251,257,259不能被3整除,

∴這個三位自然數為255,

即這個三位自然數為201,207,255.

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