【題目】如圖,點,過點做直線平行于軸,點關(guān)于直線對稱點為

1)求點的坐標;

2)點在直線上,且位于軸的上方,將沿直線翻折得到,若點恰好落在直線上,求點的坐標和直線的解析式;

3)設(shè)點在直線上,點在直線上,當為等邊三角形時,求點的坐標.

【答案】1)(30);(2A1,);直線BD;(3)點P的坐標為()或(,.

【解析】

1)根據(jù)題意,點B、C關(guān)于點M對稱,即可求出點C的坐標;

2)由折疊的性質(zhì),得AB=CB,BD=AD,根據(jù)勾股定理先求出AM的長度,設(shè)點D為(1,a),利用勾股定理構(gòu)造方程,即可求出點D坐標,然后利用待定系數(shù)法求直線BD.

3)分兩種情形:如圖2中,當點P在第一象限時,連接BQ,PA.證明點PAC的垂直平分線上,構(gòu)建方程組求出交點坐標即可.如圖3中,當點P在第三象限時,同法可得△CAQ≌△CBP,可得∠CAQ=CBP=30°,構(gòu)建方程組解決問題即可.

解:(1)根據(jù)題意,

∵點B、C關(guān)于點M對稱,且點B、M、C都在x軸上,

又點B),點M1,0),

∴點C為(3,0);

2)如圖:

由折疊的性質(zhì),得:AB=CB=4,AD=CD=BD

BM=2,∠AMB=90°,

,

∴點A的坐標為:(1);

設(shè)點D為(1,a),則DM=a,BD=AD=

RtBDM中,由勾股定理,得

,

解得:,

∴點D的坐標為:(1);

設(shè)直線BD,則

,解得:,

∴直線BD為:

3)如圖2中,當點P在第一象限時,連接BQ,PA

∵△ABC,△CPQ都是等邊三角形,

∴∠ACB=PCQ=60°,

∴∠ACP=BCQ

CA=CB,CP=CQ,

∴△ACP≌△BCQSAS),

AP=BQ,

AD垂直平分線段BC,

QC=QB,

PA=PC,

∴點PAC的垂直平分線上,

,解得,

P,).

如圖3中,當點P在第三象限時,同法可得△CAQ≌△CBP


∴∠CAQ=CBP=30°,

B-1,0),

∴直線PB的解析式為,

,解得:,

P,.

練習冊系列答案
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