Question

5．如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，AD與過(guò)點(diǎn)C的切線垂直，垂足為點(diǎn)D，AD交⊙O于點(diǎn)E
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）連接BE交AC于點(diǎn)F，若$\frac{CD}{AC}$=$\frac{3}{5}$，求$\frac{AF}{FC}$的值．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由切線的性質(zhì)得出DC⊥OC，得出∠ACD+∠ACO=90°，由垂線的性質(zhì)得出∠ACD+∠DAC=90°，得出∠ACO=∠DAC，再由等腰三角形的性質(zhì)得出∠OAC=∠ACO，證出∠DAC=∠OAC即可；
（2）由sin∠DAC=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{3}{5}$，得出tan∠DAC=$\frac{3}{4}$，設(shè)CD=3，則AC=5，AD=4，證明△ACD∽△ABC，得出$\frac{CD}{BC}=\frac{AD}{AC}$，求出BC=$\frac{15}{4}$，求出CF=$\frac{3}{4}$BC=$\frac{45}{16}$，得出AF=AC-CF═$\frac{35}{16}$，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：連接OC，如圖所示：
∵DC是⊙O的切線，
∴DC⊥OC，
∴∠ACD+∠ACO=90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠ACO=∠DAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠OAC，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：∵AD⊥DC，
∴∠D=90°，
∵sin∠DAC=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
∴tan∠DAC=$\frac{3}{4}$，
設(shè)CD=3，則AC=5，AD=4，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°=∠ADC，
∵∠DAC=∠OAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{AD}{AC}$，即$\frac{3}{BC}=\frac{4}{5}$，
解得：BC=$\frac{15}{4}$，
∵∠CBF=∠DAC，
∴tan∠CBF=$\frac{CF}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
∴CF=$\frac{3}{4}$BC=$\frac{45}{16}$，
∴AF=AC-CF=5-$\frac{45}{16}$=$\frac{35}{16}$，
∴$\frac{AF}{FC}$=$\frac{7}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、三角函數(shù)、圓周角定理等知識(shí)；熟練掌握切線的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．