【題目】我們給出如下定義:若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方,則稱這個四邊形為勾股四邊形,這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊.
(1)寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是勾股四邊形的一種圖形的名稱 ;
(2)如圖 1,已知格點(diǎn)(小正方形的頂點(diǎn))O(0,0),A(3,0),B(0,4),請你直接寫出所有以格點(diǎn)為頂點(diǎn),OA、OB 為勾股邊且有對角線相等的勾股四邊形 OAMB 的頂點(diǎn)M 的坐標(biāo): ;
(3)如圖 2,將△ABC 繞頂點(diǎn) B 按順時針方向旋轉(zhuǎn) 60°,得到△DBE,連接 AD、DC,∠DCB=30°.求證: DC2 BC2 AC2 ,即四邊形 ABCD 是勾股四邊形;
(4)若將圖 2 中△ABC 繞頂點(diǎn) B 按順時針方向旋轉(zhuǎn) a 度(0°<a <90°),得到△DBE,連接 AD、DC,則當(dāng)∠DCB= °時,四邊形BECD 是勾股四邊形.
【答案】(1)矩形(正方形);(2)M(3,4);M(4,3);(3)詳見解析;(4)α.
【解析】
(1)根據(jù)勾股四邊形的定義,可知正方形、矩形直角梯形都是勾股四邊形;
(2)如圖1中,以OA、OB為勾股邊且有對角線相等的勾股四邊形OAMB的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,4)或(4,3);
(3)如圖2,連接CE,只要證明△DCE是直角三角形即可解決問題.
(4)如圖3,當(dāng)∠DCB= α,四邊形ABCD是勾股四邊形.連接CE,根據(jù)△DCE是直角三角形求出∠DCB即可.
(1)矩形(正方形)
(2)M(3,4);M(4,3)
(3)連接CE,∵△ABC≌△DBE,∴AC=DE,BC=BE
∵∠CBE=60°,∴△CBE是等邊三角形,
∴BC=BE,∠CBE=60°,∵∠DCB=30°
∴∠DCE=90°,∴DC2+EC2=DE2
∴DC2+BC2=AC2,即四邊形ABCD是勾股四邊形.
(4)如圖 3, 當(dāng) ∠DCB=α ,四邊形 ABCD 是勾股四邊形.
理由:連接 CE ,
由旋轉(zhuǎn)得: △ABC ≌ △DBE ,
∴AC=DE , BC=BE ,
又 ∵∠CBE=α ,
∴∠BCE=∠BEC=90°α ,
∴當(dāng)∠DCB=α時,∠DCE=90° ,
∴DC2+EC2=DE2 .
∴ 即四邊形BECD 是勾股四邊形
故答案為:α.
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【題目】如圖:△ABC的周長為30cm,把△ABC的邊AC對折,使頂點(diǎn)C和點(diǎn)A重合,折痕交BC邊于點(diǎn)D,交AC邊與點(diǎn)E,連接AD,若AE=4cm,則△ABD的周長是( )
A. 22cmB. 20cmC. 18cmD. 15cm
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【題目】如圖平面直角坐標(biāo)系中,已知三點(diǎn) A(0,7),B(8,1),C(x,0)且 0<x <8.
(1)求線段 AB 的長;
(2)請用含 x 的代數(shù)式表示 AC+BC 的值;
(3)求 AC+BC 的最小值.
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【題目】在一個不透明的口袋里裝有僅顏色不同的黑、白兩種顏色的球20只,某學(xué)習(xí)小組做摸球?qū)嶒?yàn).將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個球,記下顏色,再把它放回袋中,不斷重復(fù),下表是活動進(jìn)行中記下的一組數(shù)據(jù)
摸球的次數(shù) | 100 | 150 | 200 | 500 | 800 | 1000 |
摸到白球的次數(shù) | 58 | 96 | 116 | 295 | 484 | 601 |
摸到白球的頻率 | 0.58 | 0.64 | 0.58 | 0.59 | 0.605 | 0.601 |
(1)請你估計(jì),當(dāng)n很大時,摸到白球的頻率將會接近 (精確到0.1).
(2)假如你去摸一次,你摸到白球的概率是 ,摸到黑球的概率是 .
(3)試估算口袋中黑、白兩種顏色的球有多少只.
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【題目】如圖,已知拋物線y=x2-x-6與x軸交于點(diǎn)A和B,點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊,與y軸的交點(diǎn)為C.
(1)用配方法求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求sin∠OCB的值;
(3)若點(diǎn)P(m,m)在該拋物線上,求m的值.
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【題目】請根據(jù)證明過程,在括號內(nèi)填寫相應(yīng)理由,如圖,已知B、E分別是AC、DF上的點(diǎn),∠1=∠2,∠C=∠D,
求證:∠A=∠F.
證明:因?yàn)椤?/span>1=∠2(已知)
所以BD∥CE( )所以∠C=∠ABD( )因?yàn)椤?/span>C=∠D( )
所以∠D=∠ABD( )
所以DF∥AC( )所以∠A=∠F( )
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【題目】如圖,在一次軍事演習(xí)中,藍(lán)方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退,紅方在公路上的B處沿南偏西60°方向前進(jìn)實(shí)施攔截,紅方行駛1000米到達(dá)C處后,因前方無法通行,紅方?jīng)Q定調(diào)整方向,再朝南偏西45°方向前進(jìn)了相同的距離,剛好在D處成功攔截藍(lán)方,求攔截點(diǎn)D處到公路的距離(結(jié)果不取近似值).
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(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若P運(yùn)動的路程為m,△OPA的面積為S,求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動一周時,點(diǎn)Q運(yùn)動的總路程為______.
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