【題目】已知等腰△ABC中,AB=AC,∠ABC的平分線(xiàn)交AC于D,過(guò)點(diǎn)A作AE // BC交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,∠CAE的平分線(xiàn)交BE于點(diǎn)F.
(1)①如圖,若∠BAC=36o,求證:BD=EF;
②如圖,若∠BAC=60o,求的值;
(2)如圖,若∠BAC=60o,過(guò)點(diǎn)D作DG// BC,交AB于點(diǎn)G,點(diǎn)N為BC中點(diǎn),點(diǎn)P, M分別是GD, BG上的動(dòng)點(diǎn),且∠PNM=60°. 求證:AP=PN=MN.
【答案】(1)①見(jiàn)解析;②;(2)見(jiàn)解析.
【解析】
(1)①如圖1,根據(jù)題意可依次求得∠1=∠E=∠3=36°,∠2=∠4=72°,再根據(jù)等腰三角形的判定和等量代換即得結(jié)論;
②如圖2,根據(jù)AB=AC,∠BAC=60°可得△ABC是等邊三角形,根據(jù)AE // BC和BD是∠ABC的平分線(xiàn),可得AB=AE,進(jìn)一步即可求得∠1=∠3=∠E=30°,然后利用30°角的直角三角形的性質(zhì)可得BD與AB、EF與AE的關(guān)系,問(wèn)題即得解決.
(2)如圖3,連接DN、GN,根據(jù)題意易得△ADG、△BNG、△GDN為全等的等邊三角形,然后利用SAS可證△AGP≌△NGP,從而可得AP=NP,再根據(jù)ASA可證△GMN≌△DPN,從而可得MN=PN,問(wèn)題即得解決.
解:(1)①證明:如圖1,∵AB=AC,∠BAC=36°,∴∠ABC=∠ACB==72°,
∵BD是∠ABC的平分線(xiàn),∴,
∴,∴BD=AD,,
∵AE // BC,∴,
∴,
∵AF平分∠DAE,∴,
∴∠3=∠E,
∴AF=EF,,
∴,∴AD=AF,
∴BD=EF;
②如圖2,∵AB=AC,∠BAC=60°,∴△ABC是等邊三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,
∵BD是∠ABC的平分線(xiàn),∴,BD⊥AC,
∴,∴,
∵AE // BC,∴,,
∴,∴AB=AE,
∵AF平分∠CAE,∴,
∴,∴FA=FE,
過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AE于G,則,
在直角△EFG中,∵,∴,,
∴,∴
∴;
(2)連接DN、GN,如圖3,∵AB=AC,∠BAC=60°,∴△ABC是等邊三角形,
由上一小題知:D為AC中點(diǎn),∵DG// BC,∴G為AB中點(diǎn),
又因?yàn)辄c(diǎn)N為BC中點(diǎn),則△ADG、△BNG、△GDN為全等的等邊三角形,
∴AG=GN,∠AGP=∠NGP=60°,
又∵GP=GP,
∴△AGP≌△NGP(SAS),
∴AP=NP,
∵∠MNP=∠GND=60°,∴∠MNG=∠PND,
又∵GN=DN,∠MGN=∠PDN=60°,
∴△GMN≌△DPN(ASA),
∴MN=PN,
∴AP=PN=MN.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為豐富居民業(yè)余生活,某居民區(qū)組建籌委會(huì),該籌委會(huì)動(dòng)員居民自愿集資建立一個(gè)書(shū)刊閱覽室.經(jīng)預(yù)算,一共需要籌資30 000元,其中一部分用于購(gòu)買(mǎi)書(shū)桌、書(shū)架等設(shè)施,另一部分用于購(gòu)買(mǎi)書(shū)刊.
(1)籌委會(huì)計(jì)劃,購(gòu)買(mǎi)書(shū)刊的資金不少于購(gòu)買(mǎi)書(shū)桌、書(shū)架等設(shè)施資金的3倍,問(wèn)最多用多少資金購(gòu)買(mǎi)書(shū)桌、書(shū)架等設(shè)施?
(2)經(jīng)初步統(tǒng)計(jì),有200戶(hù)居民自愿參與集資,那么平均每戶(hù)需集資150元.鎮(zhèn)政府了解情況后,贈(zèng)送了一批閱覽室設(shè)施和書(shū)籍,這樣,只需參與戶(hù)共集資20 000元.經(jīng)籌委會(huì)進(jìn)一步宣傳,自愿參與的戶(hù)數(shù)在200戶(hù)的基礎(chǔ)上增加了a%(其中).則每戶(hù)平均集資的資金在150元的基礎(chǔ)上減少了%,求a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】仙降是瑞安重要的制鞋基地,其生產(chǎn)的鞋子暢銷(xiāo)世界各地,某制鞋企業(yè)欲將件產(chǎn)品運(yùn)往三地銷(xiāo)售,運(yùn)往地的費(fèi)用為18元/件,運(yùn)往地的費(fèi)用為20元/件,運(yùn)往地的費(fèi)用為17元/件,要求運(yùn)往地的件數(shù)與運(yùn)往地的件數(shù)相同. 設(shè)安排件產(chǎn)品運(yùn)往地.
(1)若①運(yùn)往地件數(shù)為 件(用含的代數(shù)式表示);②若總運(yùn)費(fèi)不超過(guò)1850元,則運(yùn)往地至少有多少件?
(2)若總運(yùn)費(fèi)為1900元,則的最大值為 .(直接寫(xiě)出答案)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,按以下步驟作圖:①以A為圓心,任意長(zhǎng)為半徑作弧,分別交AB,AD于點(diǎn)M,N;②分別以M,N為圓心,以大于MN的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)P;③作AP射線(xiàn),交邊CD于點(diǎn)Q,若DQ=2QC,BC=3,則平行四邊形ABCD周長(zhǎng)為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn),經(jīng)過(guò)C作CD⊥AB于點(diǎn)D,CF是⊙O的切線(xiàn),過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CF于E,連接AC.
(1)求證:AE=AD.
(2)若AE=3,CD=4,求AB的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若二次函數(shù)y=x2+與y=-x2+k的圖象的頂點(diǎn)重合,則下列結(jié)論不正確的是( )
A. 這兩個(gè)函數(shù)圖象有相同的對(duì)稱(chēng)軸 B. 這兩個(gè)函數(shù)圖象的開(kāi)口方向相反
C. 方程-x2+k=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D. 二次函數(shù)y=-x2+k的最大值為
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知AD∥BC,點(diǎn)E是CD上一點(diǎn),AE平分∠BAD,BF平分∠ABC,延長(zhǎng)BE交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F
(1)求證:△ABE≌△AFE;
(2)若AD=2,BC=6,求AB的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,△ECF是等腰直角三角形,其中CE=CF,G是CD與EF的交點(diǎn).
(1)求證:△BCF≌△DCE;
(2)若BC=5,CF=3,∠BFC=90°,求DG︰GC的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn).
當(dāng)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在軸上時(shí),求該拋物線(xiàn)的解析式;
不論取何值時(shí),拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)始終在一條直線(xiàn)上,求該直線(xiàn)的解析式;
若有兩點(diǎn),且該拋物線(xiàn)與線(xiàn)段始終有交點(diǎn),請(qǐng)直接寫(xiě)出的取值范圍.
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