【題目】如圖1,在正方形ABCD中,對角線AC,BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在AB上,點(diǎn)F在BC的延長線上,且AE=CF,連接EF交AC于點(diǎn)P,分別連接DE,DF,DP.
(1)求證:△ADE≌△CDF;
(2)求證:△ADP∽△BDF;
(3)如圖2,若PE=BE,則的值是 (直按寫出結(jié)果即可).
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3).
【解析】
(1)根據(jù)SAS證明即可.
(2)想辦法證明∠DAP=∠DBF,∠ADP=∠BDF即可解決問題.
(3)如圖2中,作PH⊥BC于H.首先證明∠EFB=30°,設(shè)HP=HC=m,則PC= m,HF=m,求出CF即可解決問題.
(1)∵四邊形ABCD是正方形,
∴DA=DC,∠DAE=∠BCD=∠DCF=90°,
∵AE=CF,
∴△ADE≌△CDF(SAS).
(2)作FH∥AB交AC的延長線于H.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠ACB=∠FCH=45°,
∵AB∥FH,
∴∠HFC=∠ABC=90°,
∴∠FCH=∠H=45°,
∴CF=FH=AE,
∵∠PAE=∠H,∠APE=∠FPH,
∴△APE≌△HPF(AAS),
∴PE=PF,
∵△ADE≌△CDF,
∴DE=DF,∠ADE=∠CDF,∠ADE=∠CDF,
∴∠EFD=∠ADC=90°,
∴△DEF是等腰直角三角形,
∵EP=PF,
∴∠EDP=∠FDP=45°,
∵ADP=∠ADE+∠PDE=∠ADE+45°,∠BDP=∠CDF+∠BDC=∠CDF+45°,
∴∠ADP=∠BDF,
∵∠DAP=∠DBF=45°,
∴△ADP∽△BDF.
(3)如圖2中,作PH⊥BC于H.
由(2)可知:PE=PF,
∵BE=PE,
∴EF=2BE,
∵∠EBF=90°,
∴sin∠EFB=,
∴∠EFB=30°,
∵PH⊥FH,∠PCH=45°,
∴∠PHC=90°,∠HPC=∠HCP=45°,
∴HP=HC,設(shè)HP=HC=m,則
∴CF=m﹣m,
∴
故答案為:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】程大位是我國明朝商人,珠算發(fā)明家.他60歲時完成的《直指算法統(tǒng)宗》是東方古代數(shù)學(xué)名著,詳述了傳統(tǒng)的珠算規(guī)則,確立了算盤用法.書中有如下問題:
一百饅頭一百僧,大僧三個更無爭,
小僧三人分一個,大小和尚得幾丁.
意思是:有100個和尚分100個饅頭,如果大和尚1人分3個,小和尚3人分1個,正好分完,大、小和尚各有多少人,下列求解結(jié)果正確的是( 。
A. 大和尚25人,小和尚75人 B. 大和尚75人,小和尚25人
C. 大和尚50人,小和尚50人 D. 大、小和尚各100人
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】深圳某學(xué)校為構(gòu)建書香校園,擬購進(jìn)甲、乙兩種規(guī)格的書柜放置新購置的圖書.已知每個甲種書柜的進(jìn)價比每個乙種書柜的進(jìn)價高20%,用3600元購進(jìn)的甲種書柜的數(shù)量比用4200元購進(jìn)的乙種書柜的數(shù)量少4臺.
(1)求甲、乙兩種書柜的進(jìn)價;
(2)若該校擬購進(jìn)這兩種規(guī)格的書柜共60個,其中乙種書柜的數(shù)量不大于甲種書柜數(shù)量的2倍.請您幫該校設(shè)計(jì)一種購買方案,使得花費(fèi)最少.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,E、F是正方形ABCD對角線AC上的兩點(diǎn),且,連接BE、DE、BF、DF.
求證:四邊形BEDF是菱形:
求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB=AC,CO的延長線交AB于點(diǎn)D.
(1)求證:AO平分∠BAC;
(2)若BC=6,sin∠BAC=,求AC和CD的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)A(1,-4)為拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)B在x軸上。
(1)求拋物線的解析式;
(2)在(1)中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)P,使△POB與△POC全等?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)若點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn),且△ABQ為直角三角形,求點(diǎn)Q的坐標(biāo)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,E、F、G、H分別為矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),連接AC、HE、EC,GA,GF.已知AG⊥GF,AC=,則AB的長為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△PAB與△PCD均為等腰直角三角形,點(diǎn)C在PB上,若△ABC與△BCD的面積之和為10,則△PAB與△PCD的面積之差為( )
A. 5B. 10C. l5D. 20
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn).
(1)線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)是 ;
(2)線段AB的長度是 ;
(3)若A、B兩點(diǎn)問時向右運(yùn)動,A點(diǎn)速度是每秒3個單位長度,B點(diǎn)速度是每秒2個單位長度,問經(jīng)過幾秒時AB=2?
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