【題目】如圖所示,點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)坐標(biāo)為,動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿以每秒個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿以每秒個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)移動(dòng).如果、分別從、同時(shí)出發(fā),用(秒)表示移動(dòng)的時(shí)間,那么:
當(dāng)為何值時(shí),四邊形是梯形,此時(shí)梯形的面積是多少?
當(dāng)為何值時(shí),以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似?
若設(shè)四邊形的面積為,試寫出與的函數(shù)關(guān)系式,并求出取何值時(shí),四邊形的面積最?
在軸上是否存在點(diǎn),使點(diǎn)、在移動(dòng)過程中,以、、、為頂點(diǎn)的四邊形的面積是一個(gè)常數(shù)?若存在請求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)t=3,27;(2)當(dāng)秒或秒時(shí),以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似;(3)存在,當(dāng)秒時(shí),四邊形的面積最;(4)存在,點(diǎn)的坐標(biāo)為),理由見解析
【解析】
(1)當(dāng)PQ∥OA,四邊形OPQA是梯形,根據(jù)平行線分線段成比例得到BP:BO=BQ:BA,即(6﹣t):6=2t:12,即可得到t,利用梯形OPQA的面積=△OAB的面積﹣△PBQ的面積求面積;
(2)討論:當(dāng)∠BPQ=∠BOA,即PQ∥OA,由(1)得t=3;當(dāng)∠BPQ=∠A,則Rt△BPQ∽Rt△BAO,BP:BA=BQ:BO,即(6﹣t):12=2t:6,即可得到t;
(3)利用y=S△OAB﹣S△BPQ=×6×12﹣×2t×(6﹣t),然后配成頂點(diǎn)式即可得到答案;
(4)利用以B、Q、E、P為頂點(diǎn)的四邊形的面積=梯形BQEO的面積﹣△OPE的面積,用t與m表示出來為×6×(m+2t)﹣×m×t,變形得到(6﹣m)t+3m,當(dāng)t的系數(shù)為0時(shí)即可得到m的值.
OP=t,PB=6﹣t,BQ=2t.
(1)當(dāng)PQ∥OA,四邊形OPQA是梯形,∴BP:BO=BQ:BA,即(6﹣t):6=2t:12,∴t=3,∴PB=3,BQ=6,∴梯形OPQA的面積=△OAB的面積﹣△PBQ的面積=×6×12﹣×3×6=27,所以當(dāng)t=3時(shí),四邊形OPQA是梯形,此時(shí)梯形OPQA的面積為27;
(2)當(dāng)∠BPQ=∠BOA,即PQ∥OA,Rt△BPQ∽Rt△BOA,由(1)得t=3,當(dāng)∠BPQ=∠A,則Rt△BPQ∽Rt△BAO,∴BP:BA=BQ:BO,即(6﹣t):12=2t:6,∴t=,所以當(dāng)t=秒或3秒時(shí),以點(diǎn)P、Q、B為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似;
(3)存在.
y=S△OAB﹣S△BPQ=×6×12﹣×2t×(6﹣t)=t2﹣6t+36=(t﹣3)2+27.
∵a=1>0,∴t=3時(shí),y有最小值27,所以當(dāng)t=3秒時(shí),四邊形OPQA的面積最小;
(4)存在.
當(dāng)E在y軸的負(fù)半軸上時(shí),以B、Q、E、P為頂點(diǎn)不能形成四邊形,則點(diǎn)E在y軸的正半軸上時(shí),設(shè)E(0,m),所以以B、Q、E、P為頂點(diǎn)的四邊形的面積=梯形BQEO的面積﹣△OPE的面積=×6×(m+2t)﹣×m×t=(6﹣m)t+3m
當(dāng)以B、Q、E、P為頂點(diǎn)的四邊形的面積是一個(gè)常數(shù),則6﹣m=0,解得:m=12,所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,12).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,A(﹣4,0),點(diǎn)C是y軸正半軸上的一點(diǎn),且∠ACB=90°,AC=BC
(1)如圖①,若點(diǎn)B在第四象限,C(0,2),求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)如圖②,若點(diǎn)B在第二象限,以OC為直角邊在第一象限作等腰Rt△COF,連接BF,交y軸于點(diǎn)M,求CM的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小亮和小剛進(jìn)行賽跑訓(xùn)練,他們選擇了一個(gè)土坡,按同一路線同時(shí)出發(fā),從坡腳跑到坡頂再原路返回坡腳.他們倆上坡的平均速度不同,下坡的平均速度則是各自上坡平均速度的1.5倍.設(shè)兩人出發(fā)xmin后距出發(fā)點(diǎn)的距離為y m.圖中折線表示小亮在整個(gè)訓(xùn)練中y與x的函數(shù)關(guān)系,其中A點(diǎn)在x軸上,M點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0).
(1)A點(diǎn)所表示的實(shí)際意義是 ;= ;
(2)求出AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式;
(3)如果小剛上坡平均速度是小亮上坡平均速度
的一半,那么兩人出發(fā)后多長時(shí)間第一次相遇?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,△ABC為等邊三角形,FB平分∠ABC,D為BF的中點(diǎn),連接AD交BC的延長線于點(diǎn)E,若EF⊥BF,則_______________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等邊△ABC中,點(diǎn)E是直線BC上一點(diǎn),∠ADB=75°.
(1) 如圖1,∠DAE=30°,證明:BE=DC;
(2) 如圖2,點(diǎn)E在BC延長線上,CA平分∠DAE,求值
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,E是AB邊的中點(diǎn),沿EC對(duì)折矩形ABCD,使B點(diǎn)落在點(diǎn)P處,折痕為EC,連結(jié)AP并延長AP交CD于F點(diǎn),連結(jié)CP并延長CP交AD于Q點(diǎn).給出以下結(jié)論:
①四邊形AECF為平行四邊形;
②∠PBA=∠APQ;
③△FPC為等腰三角形;
④△APB≌△EPC.
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,中,,垂直的角平分線于,為的中點(diǎn),則圖中兩個(gè)陰影部分面積之差的最大值為( )
A.1.5B.3C.4.5D.9
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