Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像交坐標(biāo)軸于A（-1，0），B（4，0），C（0，-4）三點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）是否存在點(diǎn)P，使△POC是以OC為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PBC面積最大，求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)和△PBC的最大面積.

Answer 1

【答案】(1)

(2)存在，P（ ）

（3）當(dāng)P點(diǎn)位（2，-6）時(shí)，最大面積為8

【解析】

（1）由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）由題意可知點(diǎn)P在線段OC的垂直平分線上，則可求得P點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）過(guò)P作PE⊥x軸，交x軸于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)F，用P點(diǎn)坐標(biāo)可表示出PF的長(zhǎng)，則可表示出△PBC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得△PBC面積的最大值及P點(diǎn)的坐標(biāo)．

(1)設(shè)拋物線解析式為

把A. B. C三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得 解得

∴拋物線解析式為

(2)作OC的垂直平分線DP，交OC于點(diǎn)D，交BC下方拋物線于點(diǎn)P，如圖1，

∴PO=PD，此時(shí)P點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)，

∵C(0,4)，

∴D(0,2)，

∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，

代入拋物線解析式可得，解得 (小于0,舍去)或 ∴存在滿足條件的P點(diǎn),其坐標(biāo)為

(3)∵點(diǎn)P在拋物線上，

∴可設(shè)P，

過(guò)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)F，如圖2，

∵B(4,0),C(0,4)，

∴直線BC解析式為y=x4，

∴F(t,t4)，

∴

∴S=S+S=PFOE+PFBE=PF(OE+BE)

=PFOB ×4=2(t2)2+8，

∴當(dāng)t=2時(shí),S最大值為8,此時(shí)t3t4=6，

∴當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,6)時(shí)，△PBC的最大面積為8.