Question

【題目】閱讀：對于函數y=ax2+bx+c（a≠0），當t1≤x≤t2時，求y的最值時，主要取決于對稱軸x=﹣ 是否在t1≤x≤t2的范圍和a的正負：①當對稱軸x=﹣ 在t1≤x≤t2之內且a＞0時，則x=﹣ 時y有最小值，x=t1或x=t2時y有最大值；②當對稱軸x=﹣ 在t1≤x≤t2之內且a＜0時，則x=﹣ 時y有最大值，x=t1或x=t2時y有最小值；③當對稱軸x=﹣ 不在t1≤x≤t2之內，則函數在x=t1或x=t2時y有最值．
解決問題：
設二次函數y1=a（x﹣2）2+c（a≠0）的圖象與y軸的交點為（0，1），且2a+c=0．
（1）求a、c的值；
（2）當﹣2≤x≤1時，直接寫出函數的最大值和最小值；
（3）對于任意實數k，規(guī)定：當﹣2≤x≤1時，關于x的函數y2=y1﹣kx的最小值稱為k的“特別值”，記作g（k），求g（k）的解析式；
（4）在（3）的條件下，當“特別值”g（k）=1時，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：將（0，1）代入得：4a+c=1．

又∵2a+c=0，

∴2a=1，解得：a= ．

∴c=﹣2a=﹣2× =﹣1．

（2）解：∵a= ，c=﹣1，

∴y1= （x﹣2）2﹣1．

∴x=﹣ =2．

∵x=2不在﹣2≤x≤1之內，

∴當x=﹣2時，y1有最大值，最大值為= ×16﹣1=7，當x=1時，y1有最小值，最小值為= ×1﹣1=﹣

（3）解：∵y2=y1﹣kx，

∴y2= （x﹣2）2﹣1=﹣kx= x2﹣（k+2）x+1．

∴拋物線的對稱軸為x=k+2．

當k+2＜﹣2時，即k＜﹣4時，當x=﹣2時，y2有最小值，y2的最小值= ×4+2（k+2）+1=2k+7；

當﹣2≤k+2≤1時，即﹣4≤k≤﹣1時，當x=k+2時，y2有最小值，y2的最小值= （k+2）2﹣（k+2）2+1=﹣ （k+2）2+1．

當k+2＞1時，即k＞﹣1時，當x=1時，y2有最小值，y2的最小值= ×1﹣（k+2）+1=﹣k﹣ ．

綜上所述，g（k）的解析式為g（k）=

（4）解：當k＜﹣4時：令y=2k+7=1，得k=﹣3，不合題意舍去；

當﹣4≤k≤﹣1時：令y=﹣ （k+2）2+1=1；得k=﹣2．

當k＞﹣1時：令y=﹣k﹣ =1，得k=﹣ ，舍去．

綜上所述，k=﹣2．

【解析】（1）將（0，1）代入得：4a+c=1，然后將4a+c=1與2a+c=0聯(lián)立可求得a、c的值；（2）將a= ，c=﹣1代入得y1= （x﹣2）2﹣1，拋物線的對稱軸為x=2，然后在﹣2≤x≤1范圍內，當x=﹣2時，y1有大值，當x=1時，y1有最小值；（3）由題意可知y2= x2﹣（k+2）x+1，拋物線的對稱軸為x=k+2，然后分為k+2＜﹣2、﹣2≤k+2≤1、k+2＞1三種情況分別求得y2的最小值即可；（4）由g（k）=1列出關于k的方程，從而可求得k的值．