Question

【題目】如圖1，直線y=x+1與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M，M、N關(guān)于x軸對(duì)稱，連接AN、BN．

（1）①求A、B的坐標(biāo)；②求證：∠ANM=∠BNM；

（2）如圖2，將題中直線y=x+1變?yōu)?/span>y=kx+b（b＞0），拋物線變?yōu)?/span>（a＞0），其他條件不變，那么∠ANM=∠BNM是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）①A（，），B（ 1，2）；②證明見(jiàn)解析；（2）成立，理由見(jiàn)解析．

【解析】

（1）①聯(lián)立直線和拋物線解析式可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；②過(guò)A作AC⊥y軸于C，過(guò)B作BD⊥y軸于D，可分別求得∠ANM和∠BNM的正切值，可證得結(jié)論；

（2）當(dāng)k=0時(shí)，由對(duì)稱性可得出結(jié)論；當(dāng)k≠0時(shí)，過(guò)A作AE⊥y軸于E，過(guò)B作BF⊥y軸于F，設(shè)A（ ，）、B（ ，），聯(lián)立直線和拋物線解析式，消去y，利用根與系數(shù)的關(guān)系，可求得，則可證明Rt△AEN∽R(shí)t△BFN，可得出結(jié)論．

解：（1）①由已知得，解得或x=1，當(dāng)時(shí)，y=，當(dāng)x=1時(shí)，y=2，∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（，），（ 1，2）；

②如圖1，過(guò)A作AC⊥y軸于C，過(guò)B作BD⊥y軸于D，由①及已知有A（，），B（ 1，2），且OM=ON=1，∴tan∠ANM===，tan∠BNM== =，∴tan∠ANM=tan∠BNM，∴∠ANM=∠BNM；

（2）∠ANM=∠BNM成立，①當(dāng)k=0，△ABN是關(guān)于y軸的軸對(duì)稱圖形，∴∠ANM=∠BNM；

②當(dāng)k≠0，根據(jù)題意得：OM=ON=b，設(shè)A（ ，）、B（ ，）．

如圖2，過(guò)A作AE⊥y軸于E，過(guò)B作BF⊥y軸于F，由題意可知：ax2=kx+b，即ax2﹣kx﹣b=0，∴，，∵

==，

∴，

∴Rt△AEN∽R(shí)t△BFN，

∴∠ANM=∠BNM．