【題目】如圖①,在平面直角坐標(biāo)系中,等邊△ABC的頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(5,0),(9,0),點(diǎn)D是x軸正半軸上一個動點(diǎn),連接CD,將△ACD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE,連接DE.
(Ⅰ)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo),并判斷△CDE的形狀,說明理由;
(Ⅱ)如圖②,當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動時,△BDE的周長是否存在最小值?若存在,求出△BDE的最小周長及此時點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(Ⅲ)當(dāng)△BDE是直角三角形時,求點(diǎn)D的坐標(biāo).(直接寫出結(jié)果即可)
【答案】(Ⅰ)C,△CDE是等邊三角形;(Ⅱ)存在;;D(7,0);(Ⅲ)D(1,0)或(13,0).
【解析】分析:
(1)如圖1,過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H,由△ABC是等邊三角形易得AH=AB=2,結(jié)合AC=AB=4、OA=5,可得CH=,OH=7,由此即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo);由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知CE=CD,結(jié)合旋轉(zhuǎn)角∠DCE=60°可知△CDE是等邊三角形;
(2)如圖2,由(1)可知△CDE是等邊三角形,由此可得DE=CD,由△CDE是由△CAD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到的,由此可得BE=AD,從而可得△BDE的周長=BD+BE+DE=BD+AD+CD=AB+CD=4+CD,由此可知,當(dāng)CD⊥AB時,CD最小,此時△BDE的周長最小,由(1)可知,此時CD=,OD=7,即當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(7,0)時,△BDE的周長最小,最小值為;
(3)如圖3,由∠CBE=∠CAD=120°可得∠ABC=60°,由此可得∠DBE=60°≠90°,結(jié)合△BDE是直角三角形,可知:存在①∠BED=90°;②∠BDE=90°(如圖3,∠BD'E'=90°)兩種情況,分兩種情況畫出符合要求的圖形,并結(jié)合已知條件進(jìn)行分析計(jì)算即可.
詳解:
(Ⅰ)如圖1,過點(diǎn)C作CH⊥AB于H,
∵△ABC是等邊三角形,CH⊥AB于點(diǎn)H,
∴∠AHC=90°,AH=AB=(9﹣5)=2,
∴OH=OA+AH=7,
∵AC=AB=4,
∴在Rt△ACH中,CH=,
∴ C;
∵△CBE是由△CAD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到的,
∴∠DCE=60°,DC=EC,
∴△CDE是等邊三角形;
(Ⅱ)存在,理由如下:如圖2,由(Ⅰ)知,△CDE是等邊三角形,
∴DE=CD,
由旋轉(zhuǎn)知,BE=AD,
∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE=4+CD,
由垂線段最短可知,CD⊥AB于D時,△BDE的周長最小,此時,由(1)可知CD=2,OD=7,
∴△BDE的周長最小值為4+2,點(diǎn)D(7,0);
(Ⅲ)如圖3,
∵由旋轉(zhuǎn)知,∠CBE=∠CAD=120°,
∵∠ABC=60°,
∴∠DBE=60°≠90°,
∵△BDE是直角三角形,
∴存在∠BED=90°或∠BDE=90°(如圖3,∠BD'E'=90°)兩種情況,
①當(dāng)∠BED=90°時,
∵△CDE是等邊三角形,
∴∠CED=60°,
∴∠BEC=30°,
∵∠CBE=∠CAD=120°,
∴∠BCE=30°,
∴BE=BC=AB=4,
在Rt△BDE中,∠DBE=∠CBE﹣∠ABC=60°,
∴BD=2BE=8,
∵OB=9,
∴OD=OB﹣BD=1,
∴D(1,0),
②當(dāng)∠BD'E'=90°時,
∵△CD'E'是等邊三角形,
∴∠CD'E'=60°,
∴∠BD'C=30°,
∵∠ABC=60°,
∴∠BCD'=30°=∠BD'E,
∴BD'=BC=6,
∵OB=9,
∴OD'=OB+BD'=13,
∴D'(13,0),
即:存在點(diǎn)D使△BDE是直角三角形,此時點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為:(1,0)或(13,0).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn),過點(diǎn)C作CF∥AB交DE的延長線于點(diǎn)F,連接BE.
(1)求證:四邊形BCFD是平行四邊形.
(2)當(dāng)AB=BC時,若BD=2,BE=3,求AC的長.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn),點(diǎn)是軸上一動點(diǎn),要使點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)剛好落在軸上,則此時點(diǎn)的坐標(biāo)是( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線AB:y=kx+4(k≠0)與x軸,y軸,交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)C是BO的中點(diǎn)且tan∠ABO=
(1)求直線AC的解析式;
(2)若點(diǎn)M是直線AC的一點(diǎn),當(dāng)時,求點(diǎn)M的坐標(biāo).
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【題目】在菱形ABCD中,AC是對角線,CD=CE,連接DE,點(diǎn)M是線段DE的中點(diǎn).
(1)如圖1,連接CM,若AC=16,CD=10,求DE的長
(2)如圖2,點(diǎn)F在菱形的外部,DF=DM,且∠CDA=∠FDE,連接FM交AD于點(diǎn)G,FM的延長線交AC于點(diǎn)N,求證:CN=AG.
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【題目】已知ab<0,,且|c|>|b|>|a|,數(shù)軸上a、b、c對應(yīng)的點(diǎn)是A、B、C.
(1) 若|a|=-a時,請?jiān)跀?shù)軸上標(biāo)出A、B、C的大致位置;
(2) 在(1)的條件下,化簡:|a-b|-|b+c|+|c+a|.
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【題目】對任意一個三位數(shù),如果滿足各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同,且都不為零,那么稱這個數(shù)為“相異數(shù)”,將一個“相異數(shù)”任意兩個數(shù)位上的數(shù)字對調(diào)后可以得到三個不同的新三位數(shù),把這三個新三位數(shù)的和與111的商記為.例如,對調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到213,對調(diào)百位與個位上的數(shù)字得到321,對調(diào)十位與個位上的數(shù)字得到132,這三個新三位數(shù)的和為213+321+132=666,666÷111=6,所以.
(1)計(jì)算:和;
(2)若是“相異數(shù)”,證明:等于的各數(shù)位上的數(shù)字之和.
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F在對角線AC上,且AE=CF。
(1)求證:四邊形DEBF是平行四邊形;
(2)若DE=3,CD=4,∠EDC=90°,當(dāng)四邊形DEBF是菱形時,AE的長為多少?
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【題目】食品安全關(guān)系到我們每個人的身心健康,為了調(diào)查市場上某品牌飲料的色素含量是否符合國家標(biāo)準(zhǔn),工作人員在超市里隨機(jī)抽取了該品牌飲料進(jìn)行檢驗(yàn),圖①和圖②是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,其中A、B、C、D分別代表色素含量為0.05%以下、0.05%~0.1%、0.1%~0.15%、0.15%以上,圖①的條形統(tǒng)計(jì)圖表示的是抽查的飲料中各種色素含量分布的瓶數(shù),圖②的扇形統(tǒng)計(jì)圖表示的是抽查的飲料中各種色素含量的瓶數(shù)占抽查總數(shù)的百分比.
請根據(jù)以上信息解答以下問題:
(1)本次調(diào)查一共抽查了多少瓶飲料?
(2)請將圖①條形統(tǒng)計(jì)圖中色素含量為B的部分補(bǔ)充完整;
(3)圖②扇形統(tǒng)計(jì)圖中色素含量為D的部分的扇形圓心角是多少度?
(4)若色素含量超過0.15%即為不合格產(chǎn)品,某超市這種品牌的飲料共有5000瓶,估計(jì)其中不合格的產(chǎn)品約有多少瓶?
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