Question

【題目】如圖1，拋物線y=x2﹣（m﹣1）x﹣m（m＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OB=3OA．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）動點(diǎn)D在線段BC下方的拋物線上．

①連接AC、BC，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E，交BC于點(diǎn)F．過點(diǎn)F作FG⊥AC，垂足為G．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t，線段FG的長為d，用含t的代數(shù)式表示d；

②過點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為H，連接CD．是否存在點(diǎn)D，使得△CDH中的一個角恰好等于∠ABC的2倍？如果存在，求出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣2；（2）①d=t；②存在；D的橫坐標(biāo)為或1

【解析】

（1）根據(jù)題意可求點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（m，0），根據(jù)OB=3OA，可求m的值，即可求解析式；

（2）①先求出直線BC解析式，即可得F點(diǎn)坐標(biāo)，利用S△AFC=S△ABC-S△ABF．可得用含t的代數(shù)式表示d；

②分∠CDH=2∠ABC或∠DCH=2∠ABC兩種情況討論，利用銳角三角函數(shù)，相似三角形的性質(zhì)可求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)．

（1）令y=0，則0=x2﹣（m﹣1）x﹣m，

∴x2﹣（m﹣1）x﹣m=0，

∴（x﹣m）（x+1）=0，

∴x1=m，x2=﹣1，

∵m＞0，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，

∴點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（m，0），

∴OA=1，OB=m，

∵OB=3OA，

∴m=3，

∴拋物線y=x2﹣x﹣2，

（2）①如圖1：連接AF，

∵拋物線y=x2﹣x﹣2與y軸交與點(diǎn)C，

∴點(diǎn)C（0，﹣2），

∵點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，﹣2），

∴AB=4，OC=2，AC=

∵設(shè)直線BC解析式y=kx+b.

∴

解得：b=﹣2，b=

∴直線BC解析式y=x﹣2，

∵D點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，DF⊥AB，

∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為t，

∴F（t，t﹣2），

∵S△AFC=S△ABC﹣S△ABF．

∴

∴

∴d=

②若∠DCH=2∠ABC，如圖2：過點(diǎn)C作CF∥AB，交拋物線于F點(diǎn)，作DE⊥CF于點(diǎn)E．

∵AB∥CF，

∴∠ABC=∠BCF，

又∵∠DCH=2∠BCF，

∴∠DCF=∠ABC=∠BCF，

∵點(diǎn)D坐標(biāo)為（t，t2﹣t﹣2），

∴CE=t，DE=﹣2﹣（t2﹣t﹣2）=t﹣t2．

∵tan∠DCF=tan∠ABC=

∴

∴t1=0（不合題意舍去），t2=1，

即點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1．

若∠CDH=2∠ABC，如圖3：作∠ECB=∠ABC，過點(diǎn)B作BP∥HD，交CD的延長線于點(diǎn)P，作PF⊥AB于F．

∵∠ECB=∠ABC，

∴EC=BE，∠AEC=2∠ABC，

在Rt△OEC中，CE2=OE2+OC2．

∴CE2=（3﹣CE）2+4，

∴CE=

∴OE=OB﹣BE=

∴tan∠AEC=tan2∠ABC=

∵點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，﹣2），

∴BC=

∵BP∥HD，HD⊥BC，

∴BP⊥BC，∠CDH=∠CPB=2∠ABC，

∴tan∠CPB=tan2∠ABC=

∴BP=

∵∠ABC+∠PBF=90°，∠ABC+∠OCB=90°，

∴∠OCB=∠PBF，且∠BOC=∠PFB=90°，

∴△BOC∽△PFB，

∴

∴PF=，BF=

∴OF=3+=

∴點(diǎn)P坐標(biāo)（，﹣），

∵點(diǎn)C（0，﹣2），點(diǎn)P（，﹣），

∴直線PC解析式y=x﹣2，

∵直線CP與拋物線交于C，D兩點(diǎn)，

∴

解得：x1=0，x2=

∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為

綜上所述：點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為或1，