【題目】在邊長為4的等邊△ABC中.
(1)如圖1,P,Q是BC邊上的兩點,AP=AQ,∠BAP=18°,求∠AQB的度數(shù);
(2)點P,Q是BC邊上的兩個動點(不與點B,C重合),點P在點Q的左側(cè),且AP=AQ,點Q關于直線AC的對稱點為M,連接AM,PM.依題意將圖2補全,并求證PA=PM.
(3)在(2)中,當AM的值最小時,直接寫出CM的長.
【答案】(1)78°;(2)見解析;(3)2.
【解析】
(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠APQ=∠AQP,由鄰補角的定義得到∠APB=∠AQC,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論;
(2)如圖2根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠APQ=∠AQP,由鄰補角的定義得到∠APB=∠AQC,由點Q關于直線AC的對稱點為M,得到AQ=AM,∠OAC=∠MAC,等量代換得到∠MAC=∠BAP,推出△APM是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
(3)因為AM=AP,所以當AP⊥BC時,AM的值最小,此時P、Q重合,由此即可解決問題;
(1)∵AP=AQ,
∴∠APQ=∠AQP,
∴∠APB=∠AQC,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠B=∠C=60°,
∴∠BAP=∠CAQ=18°,
∴∠AQB=∠APQ=∠BAP+∠B=78°;
(2)如圖2,∵點Q關于直線AC的對稱點為M,
∴AQ=AM,∠QAC=∠MAC,
∵∠BAP=∠CAQ,
∴∠MAC=∠BAP,
∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°,
∴∠PAM=60°,
∵AP=AQ,
∴AP=AM,
∴△APM是等邊三角形,
∴AP=PM.
(3)∵AM=AP,
∴當AP⊥BC時,AM的值最小,
∴此時P、Q重合,CM=CQ=QB=2.
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【題目】如圖,已知點A、D、C、F在同一條直線上,AB=DE,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,還需要添加一個條件是( 。
A. ∠BCA=∠F; B. ∠B=∠E; C. BC∥EF ; D. ∠A=∠EDF
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【題目】甲、乙兩山地自行車選手進行騎行訓練.他們在同地出發(fā),反向而行,分別前往A地和B地.甲先出發(fā)一分鐘且先到達A地.兩人到達目的地后均以原速按原路立即返回,直至兩人相遇.下圖是兩人之間的距離y(千米)隨乙出發(fā)時間x(分鐘)之間的變化圖象.請根據(jù)圖象解決下列問題:
(1)直接寫出甲車和乙車的速度.
(2)在圖中的兩個括號內(nèi)填上正確的數(shù)值.
(3)乙車出發(fā)多長時間兩車首次相距22.6千米?
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【題目】已知:如圖,△ABC是等邊三角形,延長AC到E,C為線段AE上的一動點(不與點A、E重合),在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE,AD與BE交于點O,AD與BC交于點P,BE與CD交于點Q,連接PQ,OC. 以下五個結(jié)論:①AD=BE;②AP=BO;③PQ//AE;④∠AOB=60°;⑤OC平分∠AOE;結(jié)論正確的有_________(把你認為正確的序號都填上)
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【題目】如圖,某市有一塊長為(3a+b)米、寬為(2a+b)米的長方形地塊,中間是邊長為(a+b)米的正方形,規(guī)劃部門計劃將在中間的正方形修建一座雕像,四周的陰影部分進行綠化.
(1)綠化的面積是多少平方米?(用含字母a、b的式子表示)
(2)求出當a=10,b=12時的綠化面積.
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【題目】如圖,一段圓弧與長度為的正方形網(wǎng)格的交點是A、B、C.
(1)請完成以下操作:
①以點O為原點,垂直和水平方向為軸,網(wǎng)格邊長為單位長,建立平面直角坐標系;
②根據(jù)圖形提供的信息,標出該圓弧所在圓的圓心D,并連接AD、CD;
(2)請在(1)的基礎上,完成下列填空:
①⊙D的半徑 (結(jié)果保留根號).
②點(-2,0)在⊙D ;(填“上”、“內(nèi)”、“外”)
③∠ADC的度數(shù)為 .
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【題目】在等邊三角形ABC中,點P在△ABC內(nèi),點Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ.
(1)求證:△ABP≌△ACQ;
(2)請判斷△APQ是什么三角形,試說明你的結(jié)論.
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【題目】已知,如圖長方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,將此長方形折疊,使點B與點D重合,折痕為EF,則下列結(jié)論:①△ABE的面積為6cm2,②BF的長為5cm,③EF的長為cm,④四邊形CDEF的面積是13.5cm2.其中正確的個數(shù)有( )
A.4B.3C.2D.1
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【題目】如圖1,拋物線y=x2﹣(m﹣1)x﹣m(m>0)與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,且OB=3OA.
(1)求該拋物線的函數(shù)表達式;
(2)動點D在線段BC下方的拋物線上.
①連接AC、BC,過點D作x軸的垂線,垂足為E,交BC于點F.過點F作FG⊥AC,垂足為G.設點D的橫坐標為t,線段FG的長為d,用含t的代數(shù)式表示d;
②過點D作DH⊥BC,垂足為H,連接CD.是否存在點D,使得△CDH中的一個角恰好等于∠ABC的2倍?如果存在,求出點D的橫坐標;如果不存在,請說明理由.
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