【題目】定義:點(diǎn)P在△ABC的邊上,且與△ABC的頂點(diǎn)不重合.若滿足△PAB、△PBC、△PAC至少有一個(gè)三角形與△ABC相似(但不全等),則稱點(diǎn)P為△ABC的自相似點(diǎn).如圖①,已知點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(1,0)、(3,0)、(0,1).
(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0),求證點(diǎn)P是△ABC的自相似點(diǎn);
(2)求除點(diǎn)(2,0)外△ABC所有自相似點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)如圖②,過(guò)點(diǎn)B作DB⊥BC交直線AC于點(diǎn)D,在直線AC上是否存在點(diǎn)G,使△GBD與△GBC有公共的自相似點(diǎn)?若存在,請(qǐng)舉例說(shuō)明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)△CPA∽△CAB,此時(shí)P(,);△BPA∽△BAC,此時(shí)P(,);(3)S(3,-2)是△GBD與△GBC公共的自相似點(diǎn),見(jiàn)解析
【解析】
(1)利用:兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等,證明△APC∽△CAB即可;
(2)分類討論:△CPA∽△CAB和△BPA∽△BAC,分別求得P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)先求得點(diǎn)D的坐標(biāo),說(shuō)明點(diǎn)G(5,)、S(3,-2)在直線AC:上,證得△ABC△SGB,再證得△GBS∽△GCB,說(shuō)明點(diǎn)S是△GBC的自相似點(diǎn);又證得△DBG△DSB,說(shuō)明點(diǎn)S是△GBD的自相似點(diǎn).從而說(shuō)明S(3,-2)是△GBD與△GBC公共的自相似點(diǎn).
(1)如圖,
∵A(1,0),B(3,0),C(0,1),P(2,0),
∴AP=2-1=1,
AC=,
AB=3-1=2,
∴,,
∴=,
∵∠PAC=∠CAB,
∴△APC∽△CAB,
故點(diǎn)P是△ABC的自相似點(diǎn);
(2)點(diǎn)P只能在BC上,
①△CPA∽△CAB,如圖,
由(1)得:AC,AB,
又,
∵△CPA∽△CAB,
∴,
∴,
∴,
過(guò)點(diǎn)P作PD∥y軸交軸于D,
∴,,
∴,,
∴,,
P點(diǎn)的坐標(biāo)為(,)
②△BPA∽△BAC,如圖,
由前面獲得的數(shù)據(jù):AB,,
∵△BPA∽△BAC,
∴,
∴,
∴,
過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸交軸于E,
∴,
∴,
∴,,
∴,
P點(diǎn)的坐標(biāo)為(,);
(3)存在.當(dāng)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(5,)時(shí),△GBD與△GBC公共的自相似點(diǎn)為S(3,).理由如下:
如圖:
設(shè)直線AC的解析式為:,
∴,
解得:,
∴直線AC的解析式為:,
過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E,
∵∠CBO+∠DBE=90,∠EDB+∠DBE=90,
∴∠CBO=∠EDB,
∴,
∴,
設(shè)BE=a,則DE=3a,
∴OE=3-a,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3-a,-3a) ,
∵點(diǎn)D在直線AC上,
∴,
解得:,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,) ;
如下圖:當(dāng)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(5,)時(shí),△GBD與△GBC公共的自相似點(diǎn)為S(3,).
直線AC的解析式為:,
∵,,
∴點(diǎn)G、點(diǎn)S在直線AC上,
過(guò)點(diǎn)G作GH⊥x軸于點(diǎn)H,
∵,
∴,
由S(3,)、B(3,0)知BS⊥x軸,
∴△AED、△ABS、△AHG為等腰直角三角形,
∵D (,),S,G( ,
∴,,B,
,
,,
,,,
,
在△ABC和△SGB中
∵,,
∴,
∵
∴
∴△ABC△SGB
∴∠SBG=∠BCA,
又∠SGB=∠BGC,
∴△GBS∽△GCB,
∴點(diǎn)S是△GBC的自相似點(diǎn);
在△DBG和△DSB中,
∵,,
∴,且,
∴△DBG△DSB;
∴點(diǎn)S是△GBD的自相似點(diǎn).
∴S(3,)是△GBD與△GBC公共的自相似點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀以下材料,并按要求完成相應(yīng)地任務(wù):
萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)是瑞士數(shù)學(xué)家,在數(shù)學(xué)上經(jīng)常見(jiàn)到以他的名字命名的重要常數(shù),公式和定理,下面是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個(gè)定理:在△ABC中,R和r分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑,O和I分別為其外心和內(nèi)心,則.
如圖1,⊙O和⊙I分別是△ABC的外接圓和內(nèi)切圓,⊙I與AB相切分于點(diǎn)F,設(shè)⊙O的半徑為R,⊙I的半徑為r,外心O(三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn))與內(nèi)心I(三角形三條角平分線的交點(diǎn))之間的距離OI=d,則有d2=R2﹣2Rr.
下面是該定理的證明過(guò)程(部分):
延長(zhǎng)AI交⊙O于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)I作⊙O的直徑MN,連接DM,AN.
∵∠D=∠N,∠DMI=∠NAI(同弧所對(duì)的圓周角相等),
∴△MDI∽△ANI,
∴,
∴①,
如圖2,在圖1(隱去MD,AN)的基礎(chǔ)上作⊙O的直徑DE,連接BE,BD,BI,IF,
∵DE是⊙O的直徑,∴∠DBE=90°,
∵⊙I與AB相切于點(diǎn)F,∴∠AFI=90°,
∴∠DBE=∠IFA,
∵∠BAD=∠E(同弧所對(duì)圓周角相等),
∴△AIF∽△EDB,
∴,∴②,
任務(wù):(1)觀察發(fā)現(xiàn):, (用含R,d的代數(shù)式表示);
(2)請(qǐng)判斷BD和ID的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)請(qǐng)觀察式子①和式子②,并利用任務(wù)(1),(2)的結(jié)論,按照上面的證明思路,完成該定理證明的剩余部分;
(4)應(yīng)用:若△ABC的外接圓的半徑為5cm,內(nèi)切圓的半徑為2cm,則△ABC的外心與內(nèi)心之間的距離為 cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,∠ABC的角平分線BE與AD交于點(diǎn)E,∠BED的角平分線EF與DC交于點(diǎn)F,若AB=8,DF=3FC,則BC=__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我市有2000名學(xué)生參加了2018年全省八年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測(cè)試.其中有這樣一題:如圖,分別以線段BD的端點(diǎn)B、D為圓心,相同的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧相交于A、C兩點(diǎn),連接AB、AD、CB、CD.若AB=2,BD=2,求四邊形ABCD的面積.
統(tǒng)計(jì)我市學(xué)生解答和得分情況,并制作如下圖表:
(1)求學(xué)業(yè)水平測(cè)試中四邊形ABCD的面積;
(2)請(qǐng)你補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)我市該題的平均得分為多少?
(4)我市得3分以上的人數(shù)為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中,點(diǎn)A(3,4),⊙A的半徑為.
(1)請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫出⊙A;
(2)請(qǐng)標(biāo)出⊙A上的三個(gè)相鄰的格點(diǎn)B1、B2、B3,連接B1B3,則由和弦B1B3圍成的弓形面積為 ;
(3)線段CD,點(diǎn)C(6,4)、D(5,1),在⊙A上有一點(diǎn)M,使△CDM的面積最大,請(qǐng)找到此時(shí)的點(diǎn)M(保留必要輔助格點(diǎn)N).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】觀察下列各式及其驗(yàn)證過(guò)程:,驗(yàn)證:,驗(yàn)證:.
(1)按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過(guò)程,猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證;
(2)針對(duì)上述各式反映的規(guī)律,直接寫出用a(a≥2的整數(shù))表示的等式.
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【題目】順次連接邊長(zhǎng)為的正六邊形的不相鄰的三邊的中點(diǎn),又形成一個(gè)新的正三角形,則這個(gè)新的正三角形的面積等于( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和,與軸交于點(diǎn).直線.
拋物線的解析式為 .直線的解析式為 ;
若直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),求直線的解析式;
設(shè)拋物線的頂點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),如果直線與拋物線在軸上方的部分形成了封閉圖形(記為圖形).請(qǐng)結(jié)合函數(shù)的圖象,直接寫出點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍.
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