【題目】閱讀以下材料,并按要求完成相應(yīng)地任務(wù):

萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)是瑞士數(shù)學(xué)家,在數(shù)學(xué)上經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù),公式和定理,下面是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個定理:在△ABC中,Rr分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑,OI分別為其外心和內(nèi)心,則.

如圖1,⊙O和⊙I分別是△ABC的外接圓和內(nèi)切圓,⊙I與AB相切分于點(diǎn)F,設(shè)⊙O的半徑為R,⊙I的半徑為r,外心O(三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn))與內(nèi)心I(三角形三條角平分線的交點(diǎn))之間的距離OI=d,則有d2=R2﹣2Rr.

下面是該定理的證明過程(部分):

延長AI⊙O于點(diǎn)D,過點(diǎn)I⊙O的直徑MN,連接DM,AN.

∵∠D=∠N,∠DMI=∠NAI(同弧所對的圓周角相等)

∴△MDI∽△ANI,

,

①,

如圖2,在圖1(隱去MD,AN)的基礎(chǔ)上作⊙O的直徑DE,連接BE,BD,BIIF,

∵DE⊙O的直徑,∴∠DBE=90°,

∵⊙IAB相切于點(diǎn)F∴∠AFI=90°,

∴∠DBE=∠IFA,

∵∠BAD=∠E(同弧所對圓周角相等),

∴△AIF∽△EDB

,②,

任務(wù):(1)觀察發(fā)現(xiàn):, (用含R,d的代數(shù)式表示);

(2)請判斷BDID的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;

(3)請觀察式子①和式子②,并利用任務(wù)(1)(2)的結(jié)論,按照上面的證明思路,完成該定理證明的剩余部分;

(4)應(yīng)用:若△ABC的外接圓的半徑為5cm,內(nèi)切圓的半徑為2cm,則△ABC的外心與內(nèi)心之間的距離為 cm.

【答案】(1)R-d;(2)BD=ID,理由見解析;(3)見解析;(4).

【解析】

(1)直接觀察可得;

(2)由三角形內(nèi)心的性質(zhì)可得∠BAD=CAD,∠CBI=ABI,由圓周角定理可得∠DBC=CAD,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求得∠BID=DBI,繼而可證得BD=ID

(3)應(yīng)用(1)(2)結(jié)論即可;

(4)直接代入結(jié)論進(jìn)行計(jì)算即可.

(1)O、IN三點(diǎn)共線,

OI+INON

INONOIRd,

故答案為:Rd;

(2)BD=ID,理由如下:

點(diǎn)I△ABC的內(nèi)心,

∴∠BAD=∠CAD,∠CBI=∠ABI,

∵∠DBC=∠CAD∠BID=∠BAD+∠ABI,∠DBI=∠DBC+∠CBI,

∴∠BID=∠DBI,

∴BD=ID;

(3)(2)知:BD=ID

DE·IF=IM·IN,

,

(4)(3)知:,

R=5,r=2代入得:,

d>0,

故答案為:.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,在中,,,點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn).點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以的速度向點(diǎn)運(yùn)動,點(diǎn)同時從點(diǎn)出發(fā)以一定的速度沿射線方向運(yùn)動,規(guī)定當(dāng)點(diǎn)到終點(diǎn)時停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動的時間為秒,連接

1)填空:______;

2)當(dāng)且點(diǎn)運(yùn)動的速度也是時,求證:;

3)若動點(diǎn)的速度沿射線方向運(yùn)動,在點(diǎn)、點(diǎn)運(yùn)動過程中,如果存在某個時間,使得的面積是面積的兩倍,請你求出時間的值.

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【題目】如圖,在RtABC中,∠ACB90°,BD平分∠ABC.求作⊙O,使得點(diǎn)O在邊AB上,且⊙O經(jīng)過B、D兩點(diǎn);并證明AC與⊙O相切.(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)

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【題目】網(wǎng)絡(luò)比網(wǎng)絡(luò)的傳輸速度快10倍以上,因此人們對產(chǎn)品充滿期待.華為集團(tuán)計(jì)劃2020年元月開始銷售一款產(chǎn)品.根據(jù)市場營銷部的規(guī)劃,該產(chǎn)品的銷售價格將隨銷售月份的變化而變化.若該產(chǎn)品第個月(為正整數(shù))銷售價格為/臺,滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系:且第個月的銷售數(shù)量(萬臺)與的關(guān)系為.

1)該產(chǎn)品第6個月每臺銷售價格為______元;

2)求該產(chǎn)品第幾個月的銷售額最大?該月的銷售價格是多少元/臺?

3)若華為董事會要求銷售該產(chǎn)品的月銷售額不低于27500萬元,則預(yù)計(jì)銷售部符合銷售要求的是哪幾個月?

4)若每銷售1萬臺該產(chǎn)品需要在銷售額中扣除元推廣費(fèi)用,當(dāng)時銷售利潤最大值為22500萬元時,求的值.

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【題目】如圖,AB是⊙0的直徑,點(diǎn)C在⊙0上,D是中點(diǎn),若∠BAC=70°,求∠C.

下面是小雯的解法,請幫他補(bǔ)充完整:

解:在⊙0中,

∵D是的中點(diǎn)

∴BD=CD.

∴∠1=∠2( )(填推理的依據(jù)).

∵∠BAC=70°,

∴∠2=35°.

∵AB是⊙0的直徑,

∴∠ADB=90°( )(填推理的依據(jù)).

∴∠B=90°-∠2=55°.

∵A、B、C、D四個點(diǎn)都在⊙0上,

∴∠C+∠B=180°( )(填推理的依據(jù)).

∴∠C=180°-∠B= (填計(jì)算結(jié)果).

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系x0y中,對于圖形G,若存在一個正方形γ,這個正方形的某條邊與x軸垂直,且圖形G上的所有的點(diǎn)都在該正方形的內(nèi)部或者邊上,則稱該正方形γ為圖形G的一個正覆蓋.很顯然,如果圖形G存在一個正覆蓋,則它的正覆蓋有無數(shù)個,我們將圖形G的所有正覆蓋中邊長最小的一個,稱為它的緊覆蓋.如圖所示,圖形G為三條線段和一個圓弧組成的封閉圖形,圖中的三個正方形均為圖形G的正覆蓋,其中正方形ABCD就是圖形G的緊覆蓋.

(1)對于半徑為2的⊙0,它的緊覆蓋的邊長為 .

(2)如圖1,點(diǎn)P為直線y=-2x+3上一動點(diǎn),若線段OP的緊覆蓋的邊長為2,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)如圖2,直線y=3x+3與x軸,y軸分別交于A,B,

①以0為圓心,r為半徑的⊙0與線段AB有公共點(diǎn),且由⊙0與線段AB組成的圖形G的緊覆蓋的邊長小于4,直接寫出r的取值范圍;

②若在拋物線y=ax2+2ax-2(a≠0)上存在點(diǎn)C,使得△ABC的緊覆蓋的邊長為3,直接寫出a的取值范圍.

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A.B.

C.D.

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【題目】定義:點(diǎn)PABC的邊上,且與ABC的頂點(diǎn)不重合.若滿足PAB、PBCPAC至少有一個三角形與ABC相似(但不全等),則稱點(diǎn)PABC的自相似點(diǎn).如圖①,已知點(diǎn)A、BC的坐標(biāo)分別為(1,0)、(3,0)、(0,1).

1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(20),求證點(diǎn)PABC的自相似點(diǎn);

2)求除點(diǎn)(2,0)外ABC所有自相似點(diǎn)的坐標(biāo);

3)如圖②,過點(diǎn)BDBBC交直線AC于點(diǎn)D,在直線AC上是否存在點(diǎn)G,使GBDGBC有公共的自相似點(diǎn)?若存在,請舉例說明;若不存在,請說明理由.

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