Question

【題目】如圖1，拋物線y=x2﹣2x+k與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．[圖2、圖3為解答備用圖]

（1）k= ， 點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ， 點(diǎn)B的坐標(biāo)為；
（2）設(shè)拋物線y=x2﹣2x+k的頂點(diǎn)為M，求四邊形ABMC的面積；
（3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）在拋物線y=x2﹣2x+k上求點(diǎn)Q，使△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形．

Answer 1

【答案】
（1）-3；（﹣1，0）；（3，0）
（2）

解：∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴拋物線的頂點(diǎn)為M（1，﹣4），連接OM．

則△AOC的面積= ，△MOC的面積= ，

△MOB的面積=6，

∴四邊形ABMC的面積=△AOC的面積+△MOC的面積+△MOB的面積=9．

說(shuō)明：也可過(guò)點(diǎn)M作拋物線的對(duì)稱軸，將四邊形ABMC的面

積轉(zhuǎn)化為求1個(gè)梯形與2個(gè)直角三角形面積的和

（3）

解：如圖（2），設(shè)D（m，m2﹣2m﹣3），連接OD．

則0＜m＜3，m2﹣2m﹣3＜0

且△AOC的面積= ，△DOC的面積= m，

△DOB的面積=﹣ （m2﹣2m﹣3），

∴四邊形ABDC的面積=△AOC的面積+△DOC的面積+△DOB的面積

=﹣ m2+ m+6

=﹣ （m﹣ ）2+ ．

∴存在點(diǎn)D（ ， ），使四邊形ABDC的面積最大為

（4）

解：有兩種情況：

如圖（3），過(guò)點(diǎn)B作BQ1⊥BC，交拋物線于點(diǎn)Q1、交y軸于點(diǎn)E，連接Q1C．

∵∠CBO=45°，

∴∠EBO=45°，BO=OE=3．

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，3）．

∴直線BE的解析式為y=﹣x+3．

由

解得

∴點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（﹣2，5）．

如圖（4），過(guò)點(diǎn)C作CF⊥CB，交拋物線于點(diǎn)Q2、交x軸于點(diǎn)F，連接BQ2．

∵∠CBO=45°，

∴∠CFB=45°，OF=OC=3．

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣3，0）．

∴直線CF的解析式為y=﹣x﹣3．

由

解得

∴點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為（1，﹣4）．

綜上，在拋物線上存在點(diǎn)Q1（﹣2，5）、Q2（1，﹣4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC為直角邊的直角三角形．

說(shuō)明：如圖（4），點(diǎn)Q2即拋物線頂點(diǎn)M，直接證明△BCM為直角三角形同樣可以．

【解析】解：（1）把C（0，﹣3）代入拋物線解析式y(tǒng)=x2﹣2x+k中得k=﹣3
∴y=x2﹣2x﹣3，
令y=0，
即x2﹣2x﹣3=0，
解得x1=﹣1，x2=3．
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．