Question

12．如圖：正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，BP=3PC，Q是CD的中點(diǎn)．
（1）求證：△ADQ∽△QCP；
（2）已知∠QPC=55°，求∠QAD的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由正方形ABCD中，BP=3PC，Q是CD的中點(diǎn)，易得CP：DQ=CQ：DA=1：2，∠C=∠D=90°，繼而證得△ADQ∽△QCP；
（2）由△ADQ∽△QCP，根據(jù)相似的對應(yīng)角相等，求得答案．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠C=∠D=90°，
∵BP=3PC，Q是CD的中點(diǎn)，
∴CP=$\frac{1}{4}$BC，CQ=DQ=$\frac{1}{2}$CD，
∴CP：DQ=CQ：DA=1：2，
∴△ADQ∽△QCP；

（2）解：∵∠C=90°，∠QPC=55°，
∴∠CQP=90°-∠QPC=35°，
∵△ADQ∽△QCP，
∴∠QAD=CQP=35°．

點(diǎn)評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)．注意有兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等三角形相似．