Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)P（2，a）為圓心的⊙P與y軸相切，直線y＝x與⊙P相交于點(diǎn)A、B，且AB的長(zhǎng)為2，則a的值為_____．

Answer 1

【答案】2+或2﹣

【解析】

設(shè)⊙P與y軸相切于點(diǎn)C，連接PC，則有PC⊥OC，根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)可得⊙P的半徑PC為2，由于滿足條件的點(diǎn)P可能在直線y=x的上方，也可能在直線y=x的下方，因此需分兩種情況討論．當(dāng)點(diǎn)P在直線y=x上方時(shí)，如圖1，連接CP并延長(zhǎng)交直線y=x于點(diǎn)E，則有CE=OC．過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D，由垂徑定理可求出AD，在Rt△ADP中，運(yùn)用勾股定理可求出PD，在Rt△PDE中，運(yùn)用三角函數(shù)可求出PE，就可求出a的值；當(dāng)點(diǎn)P在直線y=x下方時(shí)，如圖2，連接PC，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸與點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，
同理可得：OM=MN，PD=1，PN=．易證四邊形PCOM是矩形，從而有OM=PC=2，OC=PM，進(jìn)而可以求出a的值，問(wèn)題得以解決．

設(shè)⊙P與y軸相切于點(diǎn)C，連接PC，則有PC⊥OC．

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，a），∴PC＝2．

①若點(diǎn)P在直線y＝x上方，如圖1，

連接CP并延長(zhǎng)交直線y＝x于點(diǎn)E，則有CE＝OC．

∵CE⊥OC，CE＝OC，

∴∠COE＝∠CEO＝45°．

過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D，

由垂徑定理可得：AD＝BD＝AB＝×2＝．

在Rt△ADP中，

PD＝＝1．

在Rt△PDE中，

sin∠PED＝，

解得：PE＝．

∴OC＝CE＝CP+PE＝2+．

∴a＝2+．

②若點(diǎn)P在直線y＝x下方，如圖2，

連接PC，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D，

過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸與點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，

同理可得：OM＝MN，PD＝1，PN＝．

∵∠PCO＝∠COM＝∠PMO＝90°，

∴四邊形PCOM是矩形．

∴OM＝PC＝2，OC＝PM．

∴OC＝PM＝MN﹣PN＝OM﹣PN＝2﹣．

∴a＝2﹣．

故答案為：2+或2﹣．