Question

【題目】如圖，直角△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D是直角△ABC斜邊AB上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線交AC于E，過(guò)點(diǎn)C作∠ECP＝∠AED，CP交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．

（1）求證：PC=PE；

（2）求證：PC是⊙O的切線；

（3）若AB＝10，AD＝2，AE＝，求PC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）PC=

【解析】

（1）由等角對(duì)等邊，即可得到結(jié)論成立；

（2）連接OC，則∠AED+∠OAC=90°，結(jié)合（1）的結(jié)論，得到PC⊥OC，即可得到結(jié)論成立；

（3）由題意，先求出DE的長(zhǎng)度，然后由△ABC∽△AED，求出BC，從而得到AC，再由相似三角形的性質(zhì)，即可求出PC的長(zhǎng)度．

證明：（1）∵∠AED=∠CEP，∠ECP＝∠AED，

∴∠ECP=∠CEP，

∴PC=PE．

（2）如圖，連接OC，則OC=OA，

∴∠OCA=∠OAC，

∵PD⊥AB，

∴∠AED+∠OAC=90°，

由（1）知∠ECP+∠OCA=∠ECP+∠OAC=90°即PC⊥OC，

∴PC是⊙O的切線．

（3）解：∵PD⊥AB，在Rt△AED中，

∴DE=，

∵∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°，

∴△ABC∽△AED，

∴，把AB＝10，AE＝，DE＝代入，

∴

∴BC=6，

由勾股定理求得：AC=8．

∵∠PCE+∠OCE=∠OCB+∠OCE=90°，

∴∠PCE=∠OCB，

由（2）知等腰△PCE∽△OCB，有，

即，

∴PC=．