Question

6．如圖，△ABC，△DCE都為等腰直角三角形，B、C、E三點在同一直線上，BF∥DE，DF交BE于G，且G為BE的中點：
（1）若AB=2，CE=$\sqrt{2}$，求△ACD的面積；
（2）求證：DG=FG；
（3）探索AG與FD的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠ACB=∠E=45°，AC=AB=2，CE=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{2}$，得出CD=1，證出∠ACD=90°，即可得出△ACD的面積；
（2）由ASA證明△DEG≌△FBG，即可得出DG=FG；
（3）連接AF，由全等三角形的性質(zhì)得出BF=DE=CD，證出∠ABF=∠ACD，由SAS證明△ACD≌△ABF，得出AF=AD，由等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：∵△ABC，△DCE為等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠E=45°，AC=AB=2，CD=DE，CE=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{2}$，
∴CD=1，
∵∠ACD=180°-45°-45°=90°，
∴△ACD的面積=$\frac{1}{2}$AC×CD=$\frac{1}{2}$×2×1=1；
（2）證明：∵BF∥DE，
∴∠GBF=∠E=45°，
∵G為BE的中點，
∴BG=EG，
在△DEG和△FBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠GBF}&{\;}\\{BG=EG}&{\;}\\{∠BGF=∠CGD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DEG≌△FBG（ASA），
∴DG=FG；
（3）解：AG⊥FD，理由如下：
連接AF，如圖所示：
由（2）得：△DEG≌△FBG，
∴BF=DE=CD，
∵∠ABF=∠ABC+∠GBF=90°，
∴∠ABF=∠ACD，
在△ACD和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}&{\;}\\{∠ACD=∠ABF}&{\;}\\{CD=BF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ABF（SAS），
∴AF=AD，
又∵DG=FG，
∴AG⊥FD．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．