Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+2交x軸于A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，與過點(diǎn)C且平行于x軸的直線交于另一點(diǎn)D，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線解析式及點(diǎn)D坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)E在x軸上，若以A，E，D，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）過點(diǎn)P作直線CD的垂線，垂足為Q，若將△CPQ沿CP翻折，點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q′．是否存在點(diǎn)P，使Q′恰好落在x軸上？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)、y=﹣x2+x+2；D(3，2)；(2)、P1（0，2）；P2（，﹣2）；P3（，﹣2）；(3)、（，），（﹣，）

【解析】

試題分析：(1)、用待定系數(shù)法可得出拋物線的解析式，令y=2可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)、分兩種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)AE為一邊時(shí)，AE∥PD，②當(dāng)AE為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形對(duì)頂點(diǎn)到另一條對(duì)角線距離相等，求解點(diǎn)P坐標(biāo)；(3)、結(jié)合圖形可判斷出點(diǎn)P在直線CD下方，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，﹣ a2+a+2），分情況討論，①當(dāng)P點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)，②當(dāng)P點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí)，運(yùn)用解直角三角形及相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

試題解析：(1)、∵拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，∴，

解得：∴y=﹣x2+x+2；當(dāng)y=2時(shí)，﹣ x2+x+2=2，解得：x1=3，x2=0（舍去），

即：點(diǎn)D坐標(biāo)為（3，2）．

(2)、A，E兩點(diǎn)都在x軸上，AE有兩種可能：

①當(dāng)AE為一邊時(shí)，AE∥PD， ∴P1（0，2），

②當(dāng)AE為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形對(duì)頂點(diǎn)到另一條對(duì)角線距離相等，

可知P點(diǎn)、D點(diǎn)到直線AE（即x軸）的距離相等，

∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣2， 代入拋物線的解析式：﹣ x2+x+2=﹣2 解得：x1=，x2=，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣2），（，﹣2）

綜上所述：P1（0，2）；P2（，﹣2）；P3（，﹣2）．

(3)、存在滿足條件的點(diǎn)P，顯然點(diǎn)P在直線CD下方，設(shè)直線PQ交x軸于F，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，﹣ a2+a+2），

①當(dāng)P點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)（如圖1），CQ=a，PQ=2﹣（﹣a2+a+2）=a2﹣a，

又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°，∴∠FQ′P=∠OCQ′，

∴△COQ′∽△Q′FP，，，∴Q′F=a﹣3，

∴OQ′=OF﹣Q′F=a﹣（a﹣3）=3，CQ=CQ′==，

此時(shí)a=，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），

②當(dāng)P點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí)（如圖2）此時(shí)a＜0，﹣ a2+a+2＜0，CQ=﹣a，

PQ=2﹣（﹣a2+a+2）=a2﹣a，又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°，

∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°，

∴△COQ′∽△Q′FP，，，Q′F=3﹣a，∴OQ′=3，

CQ=CQ′==，此時(shí)a=﹣，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，）．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（，），（﹣，）．