Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 與拋物線 交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣8．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點(diǎn)D，作PE⊥AB于點(diǎn)E．

①設(shè)△PDE的周長(zhǎng)為l，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求l關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的最大值；
②連接PA，以PA為邊作圖示一側(cè)的正方形APFG．隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改變．當(dāng)頂點(diǎn)F或G恰好落在y軸上時(shí)，直接寫出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：對(duì)于 ，當(dāng)y=0，x=2．當(dāng)x=﹣8時(shí)，y=﹣ ．

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為 ．

由拋物線 經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，

得

解得 ．

∴ ．

（2）

解：①設(shè)直線 與y軸交于點(diǎn)M，

當(dāng)x=0時(shí)，y= ．∴OM= ．

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），∴OA=2．∴AM= ．

∵OM：OA：AM=3：4：5．

由題意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM∽△PED．

∴DE：PE：PD=3：4：5．

∵點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，

∵PD⊥x軸，

∴PD兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，

∴PD=yP﹣yD=﹣ ﹣ ﹣（ x﹣ ）

=﹣ x2﹣ x+4，

∴

= ．

∴ ．

∴x=﹣3時(shí)，l最大=15．

②當(dāng)點(diǎn)G落在y軸上時(shí)，如圖2，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，

即 ，解得 ，

所以 ，

如圖3，過點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)P作PS⊥x軸于點(diǎn)S，

由△PNF≌△PSA，

PN=PS，可得P點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相等，

故得當(dāng)點(diǎn)F落在y軸上時(shí)，

x=﹣ ﹣ x+ ，解得x= ，

可得 ， （舍去）．

綜上所述：滿足題意的點(diǎn)P有三個(gè)，分別是

．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求出b，c即可；（2）①根據(jù)△AOM∽△PED，得出DE：PE：PD=3：4：5，再求出PD=yP﹣yD求出二函數(shù)最值即可；②當(dāng)點(diǎn)G落在y軸上時(shí)，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即 ，解得 ，所以得出P點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)F落在y軸上時(shí)，x= ，解得x= ，可得P點(diǎn)坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．