【題目】已知拋物線m是常數(shù))的頂點(diǎn)為P,直線ly=x1

1)求證:點(diǎn)P在直線l上;

2)當(dāng)m=﹣3時(shí),拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,與直線l的另一個(gè)交點(diǎn)為QMx軸下方拋物線上的一點(diǎn),∠ACM=PAQ(如圖),求點(diǎn)M的坐標(biāo);

3)若以拋物線和直線l的兩個(gè)交點(diǎn)及坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的m的值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣4,3);(3m的值為0, , , ,

【解析】試題分析:(1)利用配方法得到y=x-m2+m-1,點(diǎn)Pm,m-1),然后根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征判斷點(diǎn)P在直線l上;

2)當(dāng)m=-3時(shí),拋物線解析式為y=x2+6x+5,根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題求出A-50),易得C0,5),通過(guò)解方程組P-3,-4),Q-2,-3),作MEy軸于EPFx軸于F,QGx軸于G,如圖,證明RtCMERtPAF,利用相似得,設(shè)Mx,x2+6x+5),則,解得x1=0(舍去),x2=-4,于是得到點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-4,-3);

3)通過(guò)解方程組Pm,m-1),Qm+1m),利用兩點(diǎn)間的距離公式得到PQ2=2OQ2=2m2+2m+1,OP2=2m2-2m+1,然后分類(lèi)討論:當(dāng)PQ=OQ時(shí),2m2+2m+1=2;當(dāng)PQ=OP時(shí),2m2-2m+1=2;當(dāng)OP=OQ時(shí),2m2+2m+1=2m2-2m+1,再分別解關(guān)于m的方程求出m即可.

試題解析:(1)證明:∵y=x2﹣2mx+m2+m﹣1=x﹣m2+m﹣1,

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(mm﹣1),

∵當(dāng)x=m時(shí),y=x﹣1=m﹣1,

∴點(diǎn)P在直線l上;

2)解:當(dāng)m=﹣3時(shí),拋物線解析式為y=x2+6x+5

當(dāng)y=0時(shí),x2+6x+5=0,解得x1=﹣1,x2=﹣5,則A﹣5,0),

當(dāng)x=0時(shí),y=x2+6x+5=5,則C0,5),

可得解方程組,解得,

P﹣3﹣4),Q﹣2,﹣3),

MEy軸于E,PFx軸于F,QGx軸于G,如圖,

OA=OC=5,

∴△OAC為等腰直角三角形,

∴∠ACO=45°,

∴∠MCE=45°﹣ACM,

QG=3,OG=2,

AG=OA﹣OG=3=QG

∴△AQG為等腰直角三角形,

∴∠QAG=45°

∵∠APF=90°﹣PAF=90°﹣PAQ+45°=45°﹣PAQ,

∵∠ACM=PAQ

∴∠APF=MCE,

RtCMERtPAF,

,

設(shè)Mx,x2+6x+5),

ME=﹣xCE=5﹣x2+6x+5=﹣x2﹣6x,

,

整理得x2+4x=0,解得x1=0(舍去),x2=﹣4,

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣4,﹣3);

3)解:解方程組,則Pm,m1),Qm+1,m),

PQ2=m+1﹣m2+m﹣m+12=2,OQ2=m+12+m2=2m2+2m+1,OP2=m2+m﹣12=2m2﹣2m+1,

當(dāng)PQ=OQ時(shí),2m2+2m+1=2,解得m1=,m2=;

當(dāng)PQ=OP時(shí),2m22m+1=2,解得m1=m2=;

當(dāng)OP=OQ時(shí),2m2+2m+1=2m2﹣2m+1,解得m=0

綜上所述,m的值為0, , ,

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,,OAC上的一點(diǎn), BC,AB分別切于點(diǎn)C,D, AC相交于點(diǎn)E,連接BO.

(1) 求證:CE2=2DEBO;

(2) BC=CE=6,AE= ,AD= .

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為節(jié)約用水,某區(qū)規(guī)定三口之家每月標(biāo)準(zhǔn)用水量為15立方米,不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的水費(fèi)價(jià)格為每立方米1.5元,超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的超過(guò)部分的價(jià)格為每立方米3元,小明家11月份用水x立方米;小紅家11月份用水yy15)立方米

1)用含y的代數(shù)式表示小紅家11月份應(yīng)繳的水費(fèi);

2)用含有x的代數(shù)式表示小明家11月份應(yīng)繳的水費(fèi).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知:二次函數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)有最大值5.

(1)求此二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn);

(2)將函數(shù)圖象x軸下方部分沿x軸向上翻折,得到的新圖象與直線恒有四個(gè)交點(diǎn),從左到右,四個(gè)交點(diǎn)依次記為,當(dāng)以為直徑的圓與軸相切時(shí),求的值.

(3)若點(diǎn)(2)中翻折得到的拋物線弧部分上任意一點(diǎn),若關(guān)于m的一元二次方程 恒有實(shí)數(shù)根時(shí),求實(shí)數(shù)k的最大值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(﹣1,2),且與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,其中﹣2<x1<﹣1,0<x2<1,下列結(jié)論:

①4a﹣2b+c<0;②2a﹣b<0;③a+c<1;④b2+8a>4ac,

其中正確的有( )

A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖所示,一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=的圖象交于A(2,4),B(﹣4,n)兩點(diǎn).

(1)分別求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式;

(2)過(guò)點(diǎn)BBCx軸,垂足為點(diǎn)C,連接AC,求ACB的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】1)閱讀下面材料:

點(diǎn)、在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù),,、兩點(diǎn)之間的距高表示為

當(dāng)、兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí),不妨設(shè)點(diǎn)在原點(diǎn),如圖1,

當(dāng)、都不在原點(diǎn)時(shí),

如圖2,點(diǎn)都在原點(diǎn)的右側(cè),;

如圖3,點(diǎn)都在原點(diǎn)的左側(cè),;

如圖4,點(diǎn)在原點(diǎn)的兩側(cè),

2)回答下列問(wèn)題:

①數(shù)軸上表示25的兩點(diǎn)間的距離是 ,數(shù)軸上表示-2-5的兩點(diǎn)之間的距離是 ,數(shù)軸上表示1-3的兩點(diǎn)之間的距離是 ;

數(shù)軸上表示-1的兩點(diǎn)之間的距離是 ,如果,那么 ;

當(dāng)代數(shù)式取最小值時(shí),相應(yīng)的的取值范圍是 ;

的最小值,提示:.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在等腰ABC中,AB=BC,以BC為直徑的OAC相交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)DDEABCB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,垂足為點(diǎn)F

1)判斷DEO的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;

2)若O的半徑R=5,tanC=,求EF的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,甲、乙兩人以相同路線前往離學(xué)校12千米的地方參加植樹(shù)活動(dòng).分析甲、乙兩人前往目的地所行駛的路程S(千米)隨時(shí)間t(分鐘)變化的函數(shù)圖象,解決下列問(wèn)題:

(1)求出甲、乙兩人所行駛的路程S、St之間的關(guān)系式;

(2)甲行駛10分鐘后,甲、乙兩人相距多少千米?

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案