【題目】如圖,正五邊形ABCDE中.

(1)AC與BE相交于P,求證:四邊形PEDC為菱形;
(2)延長(zhǎng)DC、AE交于M點(diǎn),連BM交CE于N,求證:CN=EP;
(3)若正五邊形邊長(zhǎng)為2,直接寫出AD的長(zhǎng)為

【答案】
(1)證明:如圖1中,

∵五邊形ABCDE是正五邊形,
∴∠BCD=∠BAE=108°,
∵AB=AE,
∴∠ABE=∠AEB=36°,
∴∠CBE=72°,
∴∠DCB+∠CBE=180°,
∴CD∥BE,
同法可證,AC∥DE,
∴∴四邊形PEDC是平行四邊形,
∵CD=DE,
∴四邊形PEDC是菱形
(2)證明:如圖2中,連接AN.

∵∠MCA=∠MAC=72°,
∴MC=MA,
∵BC=BA,
∴BM垂直平分線段AC,
∴NC=NA,
∴∠NCA=∠NAC=∠CEP=36°,
∵∠PAE=∠NEA=72°,
∴∠PEA=∠NAE=36°,
∵AE=EA,
∴△PAE≌△NEA,
∴AN=PE,
∴CN=PE
(3) +1
【解析】(3)解:如圖3中.在AD上取一點(diǎn)W,使得AW=WE.設(shè)AW=x.

∵∠A=∠D=∠AEW=36°,
∴∠DWE=∠DEW=72°,
∴DW=DE=2,
∵∠A=∠A,∠AEW=∠D,
∴△AWE∽△AED,
∴AE2=AWAD,
∴22=x(x+2),
解得x= ﹣1,
∴AD=2+x= +1,
故答案為 +1
(1)根據(jù)正五邊形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)求出∠DCB和∠CBE的度數(shù),就可證明∠DCB+∠CBE=180°,可得CD∥BE,同法可證AC∥ED,由此根據(jù)菱形的判定即可證明。
(2)如圖2中,連接AN,先根據(jù)MC=MA,BC=BA得出BM垂直平分線段AC,得出CN=AN,再證明△PAE≌△NEA,即可解決問(wèn)題。
(3)如圖3中.在AD上取一點(diǎn)W,使得AW=WE.設(shè)AW=x,相聚已知條件證明△AWE∽△AED,可得AE2=AWAD,構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題。

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)如圖2,點(diǎn)E在直線BD的左側(cè),BF、DF分別平分∠ABE、CDE,猜想∠BFD和∠BED的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

(3)如圖3,點(diǎn)E在直線BD的右側(cè),BF、DF分別平分∠ABE、CDE;那么第(2)題中∠BFD和∠BED的數(shù)量關(guān)系的猜想是否仍成立?如果成立,請(qǐng)證明;如果不成立,請(qǐng)寫出你的猜想,并證明.

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