【題目】邊長為2的正方形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,點D是邊OA的中點,連接CD,點 E在第一象限,且DE⊥DC,DE=DC.以直線AB為對稱軸的拋物線過C,E兩點.

(1)求E點坐標(biāo);
(2)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣h)2+k,求a,h,k;
(3)點M為直線AB上一動點,點N為拋物線上一動點,是否存在點M,N,使得以點M,N,D,E為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出滿足條件的點M,N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:過點E作EF⊥x軸于點F,如圖1,

∵DE⊥DC,

∴∠CDO+∠EDF=90°,

∵∠CDO+∠OCD=90°,

∴∠OCD=∠EDF,

在△COD和△DFE中

∴△COD≌△DFE(AAS),

∴OD=EF,DF=CO,

∵CO=OA=2,D為OA中點,

∴EF=OD=DA=1,DF=OC=2,

∴E(3,1)


(2)

解:∵拋物線y=a(x﹣h)2+k以AB為對稱軸,

∴h=2,

∵y=a(x﹣h)2+k經(jīng)過C(0,2)和E(3,1)兩點,

,

解得:


(3)

解:①若以DE為平行四邊形的對角線,如圖2,

此時,N點就是拋物線的頂點(2, ),

由N、E兩點坐標(biāo)可求得直線NE的解析式為:y= x;

∵DM∥EN,

∴設(shè)DM的解析式為:y= ,

將D(1,0)代入可求得b=﹣ ,

∴DM的解析式為:y= ,

令x=2,則y=

∴M(2, );

②過點C作CM∥DE交拋物線對稱軸于點M,連接ME,如圖3,

∵CM∥DE,DE⊥CD,

∴CM⊥CD,

∵OC⊥CB,

∴∠OCD=∠BCM,

在△OCD和△BCM中

,

∴△OCD≌△BCM(ASA),

∴CM=CD=DE,BM=OD=1,

∴CDEM是平行四邊形,

即N點與C占重合,

∴N(0,2),M(2,3);

③N點在拋物線對稱軸右側(cè),MN∥DE,如圖4,

作NG⊥BA于點G,延長DM交BN于點H,

∵MNED是平行四邊形,

∴∠MDE=MNE,∠ENH=∠DHB,

∵BN∥DF,

∴∠ADH=∠DHB=∠ENH,

∴∠MNB=∠EDF,

在△BMN和△FED中

∴△BMN≌△FED(AAS),

∴BM=EF=1,

BN=DF=2,

∴M(2,1),N(4,2);

綜上所述,N、M分別以下組合時,以點M,N,D,E為頂點的四邊形是平行四邊形

N(2, ),M(2, );

N(0,2),M(2,3);

M(2,1),N(4,2)


【解析】(1)過點E作EF⊥x軸于點F,證△COD≌△DFE即可;(2)直線AB就是對稱軸,確定了h,算出C、E兩點坐標(biāo),代入拋物線解析式,確定a、k;(3)分三種情況討論:N在拋物線頂點處;N在拋物線對稱軸左側(cè);N在拋物線對稱軸右側(cè).

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某中學(xué)舉辦運動會,在1500米的項目中,參賽選手在200米的環(huán)形跑道上進行,如圖記錄了跑得最快的一位選手與最慢的一位選手的跑步全過程(兩人都跑完了全程),其中x代表的是最快的選手全程的跑步時間,y代表的是這兩位選手之間的距離,下列說不合理的是( 。

A. 出發(fā)后最快的選手與最慢的選手相遇了兩次

B. 出發(fā)后最快的選手與最慢的選手第一次相遇比第二次相遇的用時短

C. 最快的選手到達終點時,最慢的選手還有415米未跑

D. 跑的最慢的選手用時4′46″

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(1)求拋物線L的解析式;
(2)將拋物線L向下平移h個單位長度,使平移后所得拋物線的頂點落在△OBC內(nèi)(包括△OBC的邊界),求h的取值范圍;
(3)設(shè)點P是拋物線L上任一點,點Q在直線l:x=﹣3上,△PBQ能否成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形?若能,求出符合條件的點P的坐標(biāo);若不能,請說明理由.

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A.(0,0)
B.(1,0)
C.(1,﹣1)
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